홍라이프 계산기연애 이론(37% 법칙) 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 최적 정지 문제의 고전인 비서 문제, 흔히 37% 법칙이라 부르는 퍼즐을 적용합니다. 후보 n명을 한 사람씩 만나 그 자리에서 결정해야 하고 되돌아갈 수 없다면, 가장 좋은 사람을 고를 확률을 최대로 하려면 처음 몇 명을 그냥 보내야 할까요? 내가 정한 기준으로 성공할 확률도 보여 줍니다.
계산 방법
전략: 처음 k명은 보내고, 그 뒤 지금까지 본 모두보다 나은 첫 사람을 고릅니다.
최고의 후보를 고를 확률: P(k) = (k ÷ n) × Σ_(j = k+1)^n 1 ÷ (j − 1), k = 0이면 1/n
모두 보내게 될 확률 = k ÷ n (최고가 처음 k명 안에 있었던 경우)
- 모든 k에 대해 P를 계산해 가장 좋은 k를 알려 줍니다.
- n이 커지면 최적 k는 n ÷ e ≈ n의 36.8%에, 성공 확률은 1/e ≈ 36.8%에 가까워집니다.
원리
처음 k명은 기준을 세우는 표본입니다. 표본이 너무 작으면 괜찮지만 최고는 아닌 사람을 고르게 되고, 너무 크면 최고가 이미 지나가 버렸을 가능성이 큽니다. 공식은 최고가 나타날 수 있는 각 위치 j마다, 그 앞 j − 1명 중 가장 나은 사람이 표본 안에 있어서 너무 일찍 멈추지 않았을 확률을 더한 것입니다. 이 두 위험의 균형에서 유명한 1/e가 나옵니다. 모델은 순서가 무작위이고, 상대 순위만 알 수 있으며, 오직 최고를 고른 경우만 성공으로 본다고 가정합니다.
예제 풀이
기본값: 후보 10명, 내 기준 3명.
- P(3) = 3/10 × (1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9) = 0.3 × 1.3290 = 39.87%입니다.
- 모든 k를 비교하면 먼저 보낼 최적 인원은 3명으로 39.87%이며, 내 기준도 39.87%입니다.
- 기준 3명일 때 모두 보내게 될 확률 = 3 ÷ 10 = 30%입니다.
- 37% 법칙 추정값 = 10 ÷ e = 3.7, n이 매우 클 때의 극한은 36.79%입니다.
결과 해석
가장 좋은 전략도 대부분은 실패합니다. 이 예에서는 약 60%가 실패입니다. 이 전략의 장점은 이런 가정 아래에서는 어떤 규칙도 이보다 나을 수 없다는 점입니다. 아주 좋은 사람으로 만족할 수 있거나 앞의 후보에게 되돌아갈 수 있다면 최적 기준은 더 작아집니다.
흔한 실수
- 이 법칙이 최고의 선택을 보장한다고 생각하는 경우
- 후보가 무작위 순서로 오지 않는데 적용하는 경우
- 아무도 고르지 못할 위험을 잊는 경우
- 모델을 연애 조언으로 받아들이는 경우
자주 묻는 질문
37% 법칙이란?
선택지의 약 37%는 결정하지 않고 살펴본 뒤, 그들 모두보다 나은 첫 선택지를 고르는 전략입니다.
최고를 고를 확률은?
n이 크면 약 37%이고, 작은 n에서는 조금 높아 n = 10이면 39.9%입니다.
어디에 또 쓰이나요?
채용, 집 구하기처럼 되돌아갈 수 없이 차례로 결정하는 상황에 쓰입니다.
출처: T. S. Ferguson (1989), "Who Solved the Secretary Problem?", Statistical Science 4(3): 282–289