홍라이프 계산기소수를 분수로 바꾸기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
소수를 크기가 같은 기약분수로 정확히 바꾸어 주는 계산입니다. 0.375 같은 유한소수뿐 아니라, 0.1666…처럼 같은 숫자가 끝없이 되풀이되는 순환소수도 다룹니다. 순환소수는 순환하지 않는 부분 0.1을 소수 칸에, 반복되는 숫자 6을 순환 칸에 넣으면 됩니다. 교과서 답을 확인하거나, 반올림된 수 뒤에 숨은 정확한 값을 알고 싶을 때 쓰입니다.
계산 방법
유한소수: 소수점 아래 자릿수가 d개이면 10^d를 분모로 두고 약분합니다. N = x × 10^d라 하면 x = N / 10^d이고, N과 10^d를 최대공약수로 나눕니다.
순환소수: 순환하지 않는 부분을 x(소수점 아래 d자리), 순환마디를 R(k자리)이라 하고 M = x × 10^d로 둡니다. 그러면 분수는 (M × 10^k + R − M) / (10^d × (10^k − 1))이며, 마지막에 약분합니다.
순환 칸을 0으로 두면 유한소수로 계산합니다.
원리
유한소수는 이미 분모가 10의 거듭제곱인 분수입니다. 0.375는 1000분의 375라는 뜻이고, 약분하면 2와 5로 이루어진 공약수가 없어집니다. 순환소수는 10의 거듭제곱을 곱해 순환하는 부분의 자리를 맞춘 뒤 빼면 끝없는 꼬리가 사라집니다. 예를 들어 y = 0.1666…이면 100y = 16.666…, 10y = 1.666…이므로 90y = 15, y = 15/90 = 1/6입니다. 위의 공식은 이 뺄셈을 일반적으로 쓴 것입니다. 이 과정은 모든 순환소수가 유리수라는 사실도 보여 줍니다.
예제 풀이
- 입력값: 소수 0.375, 순환 숫자 0(유한소수)입니다.
- 소수점 아래가 세 자리이므로 0.375 = 375/1000입니다.
- 375와 1000의 최대공약수는 125입니다.
- 375 ÷ 125 = 3, 1000 ÷ 125 = 8입니다.
- 결과는 3/8입니다.
결과 해석
결과로 나온 분수는 정확한 값입니다. 기약분수의 분모를 소인수분해했을 때 소인수가 2와 5뿐이면 유한소수, 그 밖의 소인수가 있으면 순환소수가 됩니다. 8 = 2³이므로 3/8은 유한소수입니다. 분모에 3, 7, 11 같은 소인수가 있으면 순환소수가 되고, 1/9나 1/99처럼 분모가 9로만 이루어지면 소수점 바로 뒤부터 순환합니다.
흔한 실수
- 0.33을 넣고 1/3을 기대하는 경우입니다. 0.33은 정확히 33/100입니다. 1/3을 원하면 소수 칸 0, 순환 칸 3을 넣으십시오.
- 순환마디를 소수 칸에도 함께 넣어 두 번 세는 경우입니다.
- 0.0909…처럼 순환마디가 09이면 앞의 0을 빼지 말고 09로 입력해야 합니다.
자주 묻는 질문
0.999…는 정말 1과 같나요?
네. 소수 칸 0, 순환 칸 9를 넣으면 9/9 = 1이 나옵니다. 두 표기는 같은 수를 나타냅니다.
2.75처럼 자연수 부분이 있는 소수는 어떻게 되나요?
275/100 = 11/4이고, 대분수로는 2 3/4입니다.
모든 소수를 분수로 바꿀 수 있나요?
유한소수와 순환소수는 모두 분수로 나타낼 수 있습니다. 원주율 π처럼 순환하지 않는 무한소수는 무리수이므로 분수로 정확히 나타낼 수 없습니다.
출처: G. H. Hardy and E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, Chapter 9(소수 표현)