홍라이프 계산기자유도 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 자주 쓰는 통계 검정의 자유도(df)를 구합니다. 일표본·대응 t검정, 분산이 같거나 다른(웰치) 이표본 t검정, 카이제곱 적합도와 독립성 검정, 일원분산분석, 선형회귀를 다룹니다. 자유도는 어떤 t, χ², F 분포로 p값을 구할지를 정합니다.
계산 방법
- 일표본 또는 대응 t검정: n − 1
- 이표본 t검정(등분산): n₁ + n₂ − 2
- 웰치 t검정: df = (s₁²/n₁ + s₂²/n₂)² ÷ [(s₁²/n₁)²/(n₁ − 1) + (s₂²/n₂)²/(n₂ − 1)]
- 카이제곱 적합도: k − 1, 독립성 검정: (r − 1)(c − 1)
- 일원분산분석: 집단 간 k − 1, 집단 내 N − k
- 절편과 설명변수 p개인 회귀: 잔차 자유도 n − p − 1
원리
자료로 통계량을 하나 추정할 때마다 자유가 조금씩 줄어듭니다. 값이 n개이고 평균이 정해져 있으면 n − 1개만 마음대로 정할 수 있고 마지막 하나는 저절로 정해집니다. 자유도가 작으면 표준편차 같은 추정값의 불확실성이 커져 검정 분포의 꼬리가 두꺼워집니다. 웰치 공식은 두 표본이 표준오차에 기여하는 정도에 따라 정보를 섞기 때문에, 보통 작은 표본의 n − 1과 n₁ + n₂ − 2 사이의 소수 자유도가 나옵니다.
예제 풀이
기본값: 웰치 t검정, n₁ = 12, n₂ = 15, s₁ = 4.2, s₂ = 6.8.
- s₁²/n₁ = 17.64 ÷ 12 = 1.47, s₂²/n₂ = 46.24 ÷ 15 = 3.0827입니다.
- 분자 = (1.47 + 3.0827)² = 4.5527² = 20.727입니다.
- 분모 = 1.47² ÷ 11 + 3.0827² ÷ 14 = 0.19645 + 0.67878 = 0.87523입니다.
- df = 20.727 ÷ 0.87523 = 23.6818이며, 사용한 입력은 n₁, n₂, s₁, s₂입니다.
- 내림한 보수적 값은 23, 등분산 가정의 자유도는 12 + 15 − 2 = 25입니다.
| 표본 크기 n (n₁; 분산분석은 전체 N) | 자유도 |
|---|---|
| 3 | 4.4712 |
| 6 | 15.0665 |
| 9 | 21.9405 |
| 12 | 23.6818 |
| 15 | 23.3246 |
| 18 | 22.448 |
| 24 | 20.7538 |
결과 해석
통계 프로그램은 소수인 웰치 자유도를 그대로 쓰고, 인쇄된 표를 쓸 때는 내림해서 임계값을 조금 크게, 검정을 조금 더 신중하게 합니다. 이 예에서는 둘째 집단의 변동이 커서 그 불확실성이 지배하므로 웰치 자유도가 25보다 작습니다. 자유도가 클수록 t나 χ²에 기반한 검정은 대표본일 때의 모양에 가까워집니다.
흔한 실수
- 일표본 t검정에 n − 1 대신 n을 쓰는 경우
- 분할표에서 (r − 1)(c − 1) 대신 칸 수를 세는 경우
- 분산이 뚜렷이 다른데 n₁ + n₂ − 2를 쓰는 경우
- 회귀에서 절편 몫을 빼지 않는 경우
자주 묻는 질문
왜 n이 아니라 n − 1인가요?
같은 자료로 평균을 추정하면서 자유도 하나를 쓰기 때문입니다.
웰치 자유도는 왜 정수가 아닌가요?
각 표본의 분산에 가중치를 준 근사식이기 때문이며, 프로그램은 소수 자유도를 그대로 씁니다.
3 × 4 카이제곱 표의 자유도는?
(3 − 1)(4 − 1) = 6입니다.
출처: NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, §1.3.5.3 Two-Sample t-Test for Equal Means