다항식 미분·적분 계산기

다항식 미분·적분 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리

이 계산기는 3x³ − 2x² + 5x + 1 같은 다항식을 미분하고 적분합니다. 계수를 최고차항부터 입력하면 도함수, 이계도함수, 부정적분을 구해 줍니다. 도함수는 기울기·속도·변화율을, 이계도함수는 가속도와 그래프의 볼록한 정도를, 부정적분은 넓이·이동 거리·누적량을 구할 때 씁니다.

계산 방법

다항식 p(x) = cₙxⁿ + … + c₁x + c₀의 각 항을 따로 계산합니다.

• 미분(거듭제곱 법칙): d/dx (cxⁿ) = n·c·xⁿ⁻¹이며 상수항은 사라집니다.
• 이계도함수: 같은 법칙을 두 번 적용해 n(n − 1)·c·xⁿ⁻²가 됩니다.
• 부정적분: ∫cxⁿ dx = c·xⁿ⁺¹ ÷ (n + 1)에 적분상수 C를 더합니다.

미분과 적분은 선형성이 있어 항별로 계산해 더하면 됩니다.

원리

도함수는 할선의 기울기 [p(x + h) − p(x)] ÷ h에서 h → 0일 때의 극한입니다. xⁿ의 경우 이항정리로 (x + h)ⁿ을 전개하면 xⁿ + n·xⁿ⁻¹h + (h²이상의 항)이 됩니다. 여기서 xⁿ을 빼고 h로 나눈 뒤 h를 0으로 보내면 n·xⁿ⁻¹만 남습니다. 적분은 이 과정을 거꾸로 합니다. xⁿ⁺¹ ÷ (n + 1)을 미분하면 xⁿ이 되기 때문입니다. 상수의 도함수는 0이므로 부정적분은 언제나 + C만큼의 자유가 있습니다.

예제 풀이

1. 기본 입력값 3 −2 5 1은 p(x) = 3x³ − 2x² + 5x + 1입니다.
2. 도함수는 3·3x² − 2·2x + 5 = 9x^2 − 4x + 5이며 상수 1은 사라집니다.
3. 한 번 더 미분하면 9·2x − 4 = 18x − 4입니다.
4. 부정적분은 3x⁴/4 − 2x³/3 + 5x²/2 + 1x = 0.75x^4 − 0.6666666667x^3 + 2.5x^2 + 1x + C입니다.

결과 해석

p′(x)는 x에서의 접선의 기울기입니다. 양수이면 증가, 음수이면 감소, 0이면 극대·극소의 후보입니다. 이 예에서 p′(x) = 9x² − 4x + 5는 판별식이 16 − 180 < 0이므로 항상 양수이고, p는 모든 구간에서 증가합니다. p″(x) = 18x − 4는 x = 2/9에서 부호가 바뀌므로 이 점이 변곡점입니다. 정적분 값은 부정적분에 위끝과 아래끝을 대입해 뺀 값입니다.

흔한 실수

• 적분상수 C를 빠뜨리는 실수입니다.
• 0인 계수를 생략하는 실수입니다. x³ + 1은 1 0 0 1로 입력해야 합니다.
• 적분할 때 n + 1이 아니라 n으로 나누는 실수입니다.
• 0.6666666667을 정확한 값으로 여기는 경우입니다. 이는 2/3을 반올림한 소수입니다.

자주 묻는 질문

이계도함수는 무엇을 알려 주나요?

기울기가 변하는 정도입니다. p″ > 0이면 아래로 볼록, p″ < 0이면 위로 볼록합니다.

적분상수 C는 어떻게 정하나요?

알고 있는 점 하나를 대입합니다. F(0) = 2라면 x = 0에서 나머지 항이 모두 0이므로 C = 2입니다.

상수를 미분하면 왜 0인가요?

상수는 변하지 않으므로 그래프가 수평선이고 기울기가 0이기 때문입니다.

출처: Stewart, J., Calculus: Early Transcendentals, §3.1 · 교육부, 2022 개정 수학과 교육과정(미적분Ⅰ)