홍라이프 계산기데카르트 부호 법칙 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 다항식에 데카르트의 부호 법칙을 적용합니다. p(x)와 p(−x)의 부호 변화를 세고, 양의 실근, 음의 실근, 허근이 될 수 있는 개수의 조합을 나열합니다. 다항방정식을 풀기 전에 어떤 근을 찾아야 하는지 알아볼 때 쓸 수 있습니다.
계산 방법
- p(x)를 차수가 높은 항부터 적고, 계수가 0인 항은 건너뜁니다.
- 이웃한 계수 사이의 부호 변화를 셉니다. 양의 실근의 개수는 그 수와 같거나 짝수만큼 적습니다.
- 홀수 차수 항의 부호를 바꾼 p(−x)를 만들어 부호 변화를 세면 음의 실근에 대해 같은 판단을 할 수 있습니다.
- 상수항이 0이면 먼저 xᵐ을 묶어 냅니다. x = 0이 m중근입니다.
- 실수 계수 다항식의 허근은 켤레쌍으로 나오므로 남는 개수가 짝수인 조합만 나열하며, 개수의 합은 항상 차수와 같습니다.
원리
다항식의 양의 근 r마다 인수 (x − r)가 있고, 이런 인수를 곱할 때마다 계수 목록의 부호 변화가 적어도 하나 늘어납니다. 그래서 부호 변화의 수가 양의 근 개수의 상한이 됩니다. 실수 계수 다항식의 허근은 쌍으로 나오므로 실제 개수는 짝수만큼만 모자랄 수 있습니다. x 대신 −x를 넣으면 음의 근이 양의 근으로 바뀌어 같은 방법을 쓸 수 있습니다.
예제 풀이
기본값: p(x) = x³ − 3x² − 6x + 8.
- p(x)의 부호는 + − − +로 부호 변화가 2번이므로 양의 실근은 2개 또는 0개입니다.
- p(−x) = −x³ − 3x² + 6x + 8, 부호 − − + +로 변화가 1번이므로 음의 실근은 정확히 1개입니다.
- 상수항이 8이므로 x = 0은 근이 아닙니다(중복도 0).
- 가능한 (양, 음, 허근) 조합은 (2, 1, 0); (0, 1, 2)입니다.
결과 해석
이 법칙은 가능성을 좁혀 줄 뿐 하나를 골라 주지는 않습니다. 이 다항식은 (x − 1)(x − 4)(x + 2)로 인수분해되므로 실제로는 양의 근 2개, 음의 근 1개입니다. 유리근 정리와 간단한 그래프를 함께 쓰면 근을 효율적으로 찾을 수 있습니다. 예를 들어 이 경우 상수항 8의 약수 ±1, ±2, ±4, ±8을 대입해 보면 1, 4, −2가 바로 근으로 확인됩니다.
흔한 실수
- 계수가 0인 항을 부호 변화로 세는 경우
- p(−x)에서 홀수 차수 항만 부호를 바꿔야 한다는 점을 잊는 경우
- '부호 변화 2번'을 양의 근이 정확히 2개라고 읽는 경우
- x = 0을 양의 근이나 음의 근으로 세는 경우
자주 묻는 질문
데카르트 부호 법칙은 무엇을 알려 주나요?
양과 음의 실근의 최대 개수와, 실제 개수가 그보다 짝수만큼 적을 수 있다는 것을 알려 줍니다.
p(−x)는 어떻게 만드나요?
x의 홀수 차수 항의 부호를 모두 바꿉니다.
다항식이 아닌 함수에도 쓸 수 있나요?
아닙니다. 실수 계수 다항식에만 쓸 수 있습니다.
출처: OpenStax, College Algebra 2e (2021), §5.5 Zeros of Polynomial Functions