기술통계 계산기 (요약 통계)

기술통계 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리

기술통계 계산기는 자료 한 묶음을 한눈에 요약합니다. 중심(평균, 중앙값), 흩어짐(표준편차, 최솟값, 최댓값, 사분위수), 모양(왜도, 초과첨도)과 자료 수 n을 함께 보여 줍니다. 이상값 확인, 정규성 점검, 요약표 작성 등 분석의 첫 단계에서 씁니다.

계산 방법

• 평균 x̄ = Σx ÷ n이고, 중앙값은 크기순으로 정렬한 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수이면 가운데 두 값의 평균).
• 표준편차(표본) s = √(Σ(x − x̄)² ÷ (n − 1))입니다.
• Q1 / Q3는 정렬한 자료에서 1 + p(n − 1)번째 위치를 선형보간해 구하며 p는 0.25와 0.75입니다(엑셀 QUARTILE.INC와 같은 방식).
• 중심적률 m_r = Σ(x − x̄)^r ÷ n을 쓰면 왜도 G₁ = √(n(n − 1)) ÷ (n − 2) × m₃ ÷ m₂^1.5입니다.
• 초과첨도 G₂ = (n − 1) ÷ ((n − 2)(n − 3)) × [(n + 1)(m₄ ÷ m₂² − 3) + 6]입니다.

첨도 공식 때문에 값이 4개 이상 필요합니다.

원리

평균은 모든 값을 사용해 시소처럼 균형점을 잡고, 중앙값은 순서에만 의존하므로 이상값에 강합니다. 사분위수는 정렬한 자료를 네 등분합니다. 왜도는 부호가 유지되는 세제곱 편차를 쓰므로 오른쪽 꼬리가 길면 양수가 됩니다. 첨도는 네제곱을 써서 꼬리에 큰 비중을 두며, 3을 빼서 정규분포가 0이 되도록 맞춘 것이 초과첨도입니다. n이 들어간 계수는 소표본의 편향을 줄이는 보정(수정 피셔-피어슨 공식)입니다.

예제 풀이

1. 정렬한 자료: 11, 12, 14, 15, 15, 16, 18, 19, 22, 25(n = 10)이고 평균 = 167 ÷ 10 = 16.7입니다.
2. 중앙값 = (15 + 16) ÷ 2 = 15.5, 표준편차 = √(172.1 ÷ 9) ≈ 4.3729, 최솟값/최댓값 = 11 / 25입니다.
3. Q1은 3.25번째 위치이므로 14 + 0.25 × 1 = 14.25, Q3은 7.75번째이므로 18 + 0.75 × 1 = 18.75로 14.25 / 18.75입니다.
4. m₂ = 17.21, m₃ ≈ 41.616, m₄ ≈ 717.94이고 G₁ = √90 ÷ 8 × 41.616 ÷ 17.21^1.5 ≈ 0.6912입니다.
5. m₄ ÷ m₂² ≈ 2.4240이므로 G₂ = 9 ÷ 56 × (11 × (2.4240 − 3) + 6) ≈ −0.0541입니다.

결과 해석

평균이 중앙값보다 크고 왜도가 양수이므로 22와 25가 만든 약한 오른쪽 꼬리가 있습니다. 흔히 |왜도|가 0.5 미만이면 거의 대칭, 0.5~1이면 중간 정도, 1을 넘으면 크게 치우친 것으로 봅니다. 초과첨도가 0에 가까우면 꼬리 두께가 정규분포와 비슷합니다. 사분위범위는 4.5이고 1.5 × IQR 경계(7.5와 25.5) 밖의 이상값은 없습니다.

흔한 실수

• 보간 방식이 다른 프로그램의 사분위수와 그대로 비교하는 경우
• 작은 표본의 왜도와 첨도를 지나치게 해석하는 경우(표본오차가 큽니다)

자주 묻는 질문

다른 계산기와 사분위수가 왜 다른가요?

사분위수 정의는 여러 가지가 있습니다. 이 계산기는 엑셀 QUARTILE.INC, R의 기본값(type 7)과 같습니다.

초과첨도와 첨도는 같은 것인가요?

아닙니다. 초과첨도는 첨도에서 3을 뺀 값이라 정규분포가 3이 아니라 0이 됩니다.

출처: Joanes, D. N. and Gill, C. A., "Comparing measures of sample skewness and kurtosis", The Statistician 47(1), 1998 · Hyndman, R. J. and Fan, Y., "Sample quantiles in statistical packages", The American Statistician 50(4), 1996