홍라이프 계산기다이아몬드 문제 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 다이아몬드 문제를 풉니다. 곱(위)과 합(아래)으로 두 수를 찾거나, 두 수로 곱과 합을 구합니다. 판별식과 그 답으로 삼항식을 어떻게 인수분해하는지도 보여 줍니다. 기초 대수 연습과 x² + bx + c 인수분해의 첫 단계로 쓸 수 있습니다.
계산 방법
양옆의 두 수 m, n은 m × n = 곱, m + n = 합을 만족합니다.
두 수는 t² − (합)·t + (곱) = 0의 근입니다.
m, n = (합 ± √(합² − 4 × 곱)) ÷ 2
- 판별식 합² − 4 × 곱이 음수면 그런 실수는 없습니다.
- 인수분해: m × n = c, m + n = b이면 x² + bx + c = (x + m)(x + n)입니다.
원리
두 수는 합과 곱으로 완전히 정해집니다. 하나의 이차방정식의 두 근이기 때문입니다. (t − m)(t − n)을 전개하면 t² − (m + n)t + mn이므로, 합과 곱을 아는 것은 그 이차방정식을 아는 것과 같습니다. 인수분해에서는 같은 두 수가 x² + bx + c를 두 괄호의 곱으로 바꿉니다. 판별식이 완전제곱수일 때만 정수 답이 나옵니다.
예제 풀이
기본값: 위(곱) −24, 아래(합) 5.
- 판별식 = 5² − 4 × (−24) = 25 + 96 = 121 = 11²으로 완전제곱수입니다.
- m, n = (5 ± 11) ÷ 2 = 8과 −3입니다.
- 양옆의 수는 8, −3이며, 8 × (−3) = −24, 8 + (−3) = 5로 확인됩니다.
- 정확한 꼴은 8, −3, 인수분해에 쓰면 x² + 5x − 24 = (x + 8)(x − 3)입니다.
결과 해석
곱이 음수면 두 수의 부호가 서로 다르고, 곱이 양수인데 합이 음수면 둘 다 음수입니다. 판별식이 완전제곱수가 아니면 두 수는 무리수이고 삼항식은 정수 범위에서 인수분해되지 않지만, 근의 공식으로는 여전히 풀 수 있습니다. 정수 쌍을 찾을 때는 곱의 약수 쌍을 차례로 적어 보고 합이 맞는 쌍을 고르는 방법이 가장 빠릅니다.
흔한 실수
- 위와 아래의 역할을 바꾸는 경우
- 곱은 맞지만 합의 부호가 틀린 쌍을 고르는 경우
- 답이 무리수인데 정수만 찾다가 멈추는 경우
- 인수가 m, n과 같은 부호의 (x + m)(x + n)이라는 점을 잊는 경우
자주 묻는 질문
다이아몬드 문제는 어떻게 푸나요?
곱이 위의 수, 합이 아래의 수가 되는 두 수를 찾습니다.
인수분해에 어떻게 도움이 되나요?
x² + bx + c에서 위에 c, 아래에 b를 넣으면 (x + m)(x + n)의 두 수가 나옵니다.
정수로 안 되면요?
제곱근이 들어간 공식을 쓰면 되며, 답이 무리수이거나 실수가 아닐 수 있습니다.
두 수를 알 때 곱과 합을 구할 수도 있나요?
네, 두 번째 선택지에서 두 수를 넣으면 위의 곱과 아래의 합을 바로 계산합니다.
출처: OpenStax, Elementary Algebra 2e (2020), §7.2 Factor Trinomials of the Form x² + bx + c