주사위 확률 계산기 (주사위 n개의 합)

주사위 확률 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리

주사위 확률 계산기는 면이 s개인 공정한 주사위 n개를 던졌을 때 눈의 합이 특정 값이 될 정확한 확률과, 그 값 이상 또는 이하가 될 확률을 구합니다. 보드게임, TRPG(d4, d6, d8, d10, d12, d20), 학교 확률 수업, 게임 밸런스 점검 등에 쓰입니다.

계산 방법

계산기는 합성곱(convolution)으로 눈의 합 전체의 분포를 만듭니다.

1. 합이 0인 경우 하나에서 시작합니다.
2. 주사위를 하나 더할 때마다 현재 합 s의 확률을 s + 1, s + 2, …, s + 면 수에 각각 1 ÷ 면 수만큼 나누어 줍니다.
3. n개를 모두 더하면 n부터 n × 면 수까지 모든 합 t의 확률 P(합 = t)가 완성됩니다.

그다음 P(합 = 목표)는 그대로 읽고, P(합 ≥ 목표)는 목표부터 위쪽을, P(합 ≤ 목표)는 목표부터 아래쪽을 모두 더합니다. 평균 합 = n × (면 수 + 1) ÷ 2입니다. 주사위는 1~50개, 면은 2~100개까지 계산할 수 있습니다.

원리

주사위들은 서로 독립이고 각 면이 나올 가능성이 같으므로, 순서를 구분한 결과 하나하나의 확률은 (1/면 수)ⁿ입니다. 어떤 합의 확률은 그 합이 나오는 경우의 수를 면 수ⁿ으로 나눈 값입니다. 합성곱은 모든 경우를 나열하지 않고도 이 경우의 수를 효율적으로 셉니다. 가운데 합은 만들 수 있는 방법이 훨씬 많아 평균에서 확률이 가장 높고, 주사위가 여러 개면 분포가 종 모양에 가까워집니다. 중심극한정리의 한 예입니다. 합의 분산은 n × (면 수² − 1) ÷ 12입니다.

예제 풀이

1. 입력값: 주사위 2개, 6면, 목표 합 7입니다.
2. 같은 가능성의 결과는 6² = 36가지이고, 합이 7인 경우는 (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)의 6가지입니다.
3. P(합 = 7) = 6 ÷ 36 ≈ 0.1667입니다.
4. 합 7~12는 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21가지이므로 P(합 ≥ 7) = 21 ÷ 36 ≈ 0.5833입니다. 대칭이므로 P(합 ≤ 7)도 0.5833입니다.
5. 평균 합 = 2 × (6 + 1) ÷ 2 = 7입니다.

결과 해석

6면 주사위 2개에서는 7이 가장 잘 나오고, 2와 12는 각각 1/36 ≈ 0.028입니다. '이상'과 '이하'는 둘 다 목표값을 포함하므로 두 확률의 합은 1이 아니라 1 + P(합 = 목표)입니다. 어떤 수를 '넘을' 확률이 필요하면 바로 다음 합의 '이상' 값을 보세요.

흔한 실수

• (3,4)와 (4,3)을 한 가지로 세는 경우(주사위는 서로 구별되므로 두 가지입니다)
• 모든 합이 같은 확률로 나온다고 생각하는 경우
• '이상'과 '이하' 확률을 더하면 1이 될 것이라 기대하는 경우

자주 묻는 질문

6면 주사위 3개에서 가장 잘 나오는 합은 무엇인가요?

10과 11이 각각 27/216 = 0.125로 가장 높습니다.

2d6 + 3처럼 보정치가 있으면 어떻게 하나요?

목표값에서 보정치를 빼면 됩니다. 2d6 + 3으로 10을 만들려면 주사위 합이 7이어야 합니다.

평균이 왜 n × (면 수 + 1) ÷ 2인가요?

주사위 하나의 평균이 (1 + 면 수) ÷ 2이고, 합의 평균은 평균의 합이기 때문입니다.

출처: Feller, W., An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1 (Wiley) · Ross, S. M., A First Course in Probability (Pearson)