홍라이프 계산기정비례(변동) 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 정비례 관계 y = k·xⁿ을 다룹니다. 알고 있는 한 쌍으로 변동 상수 k를 구하고 식을 적은 뒤, 새 x에 대한 y나 새 y에 대한 x를 알려 줍니다. 대수 문장제, 요리 분량 조절, 일정한 속력의 거리 같은 물리 관계에 쓸 수 있습니다.
계산 방법
k = y₁ ÷ x₁ⁿ
새 y = k × xⁿ, 새 x = (y ÷ k)^(1/n)
y의 변화 배율 = 새 y ÷ y₁
- n = 1은 보통의 정비례, n = 2는 y가 x의 제곱에 비례한다는 뜻입니다.
- 검산: 모든 쌍에서 y ÷ xⁿ이 k와 같아야 합니다.
원리
정비례에서 y는 항상 xⁿ의 같은 배수입니다. 알고 있는 한 쌍이면 그 배수를 구할 수 있고, 나머지 쌍은 모두 따라 나옵니다. n = 1이면 x가 두 배일 때 y도 두 배, n = 2면 x가 두 배일 때 y는 네 배가 됩니다. 일정한 속력으로 간 거리(n = 1), 원의 넓이(n = 2, k = π), 정지 상태에서 떨어진 거리(n = 2, k ≈ 4.9m/s²)가 그 예입니다.
예제 풀이
기본값: x₁ = 4, y₁ = 10, n = 1, x = 7일 때의 y 구하기.
- 변동 상수 k = 10 ÷ 4 = 2.5입니다.
- 식은 y = 2.5x, 알고 있는 쌍은 (4, 10)입니다.
- 새 y = 2.5 × 7 = 17.5입니다(구한 것: 새 x에 대한 y).
- y의 변화 배율 = 17.5 ÷ 10 = 1.75로 7 ÷ 4와 같습니다.
- 검산: y ÷ x = 17.5 ÷ 7 = 2.5 = k입니다.
| 알고 있는 x (x₁) | 답 |
|---|---|
| 1 | 70 |
| 2 | 35 |
| 3 | 23.33333333 |
| 4 | 17.5 |
| 5 | 14 |
| 6 | 11.66666667 |
| 8 | 8.75 |
결과 해석
k는 xⁿ 한 단위당 y의 양으로, 예를 들어 kg당 2.5유로 같은 값입니다. n = 1이면 y의 변화 배율은 x의 변화 배율과 같고, n = 2면 그 배율의 제곱입니다. 자료에서 y ÷ xⁿ이 일정하지 않다면 그 거듭제곱의 정비례 관계가 아닙니다. 요리에서 2인분 재료가 10g일 때 7인분은 같은 방식으로 35g이 됩니다. 예를 들어 넓이 문제에서 n = 1로 계산하면 결과가 크게 틀리므로, 문제에서 무엇이 무엇의 제곱에 비례하는지 먼저 확인하십시오.
흔한 실수
- k를 x ÷ y로 계산하는 경우
- 넓이가 길이의 제곱에 비례할 때처럼 거듭제곱 n을 빼먹는 경우
- 기본값이 있는 관계(y = kx + b)에 정비례를 쓰는 경우
- x를 구하면서 음수의 짝수 제곱근을 취하는 경우
자주 묻는 질문
정비례란?
y가 항상 xⁿ의 같은 배수인 관계 y = kxⁿ입니다.
변동 상수는 어떻게 구하나요?
알고 있는 쌍에서 y를 xⁿ으로 나눕니다.
정비례와 반비례의 차이는?
정비례는 x가 커질 때 y도 커지고, 반비례 y = k ÷ x는 x가 커질 때 y가 작아집니다.
거듭제곱 n에 1이 아닌 값을 넣으면요?
n = 2면 y가 x의 제곱에, n = 3이면 세제곱에 비례하는 관계로 계산합니다.
출처: OpenStax, College Algebra 2e (2021), §5.8 Modeling Using Variation