홍라이프 계산기두 점 사이 거리·중점 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
두 점의 좌표를 넣으면 두 점 사이의 직선거리, 두 점의 한가운데인 중점, 그리고 평면에서는 두 점을 지나는 직선의 기울기를 구해 줍니다. z 값을 모두 0으로 두면 좌표평면, z 값을 넣으면 좌표공간에서 계산합니다. 좌표기하 문제 풀이, 지도 격자나 CAD 도면에서의 측정, 게임과 그래픽 프로그래밍, 물리 문제의 선분 길이 확인에 자주 씁니다.
계산 방법
- 거리: d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²)입니다.
- 중점: M = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2, (z₁ + z₂)/2)입니다.
- 기울기(평면): m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)이며 z는 고려하지 않습니다.
좌표는 같은 단위와 같은 축 기준으로 입력해야 하며, 거리는 그 단위로 나오고 기울기는 단위가 없습니다.
원리
거리 공식은 좌표 위에서 쓰는 피타고라스 정리입니다. x좌표의 차 Δx와 y좌표의 차 Δy가 직각삼각형의 두 변이 되고, 두 점을 잇는 선분이 빗변이 되므로 d² = Δx² + Δy²입니다. 공간에서는 깊이 방향의 차 Δz로 피타고라스 정리를 한 번 더 적용해 제곱 항이 하나 늘어납니다. 차를 제곱하므로 어느 점을 먼저 두든 결과는 같습니다.
중점은 좌표의 평균입니다. 첫 점에서 Δx의 절반, Δy의 절반만큼 움직이면 선분의 정확히 한가운데에 도착하기 때문입니다. 기울기는 x가 1만큼 변할 때 y가 얼마나 변하는지를 나타내는 값입니다.
예제 풀이
- 입력값: P₁ = (1, 2, 0), P₂ = (4, 6, 0)입니다.
- 좌표의 차: Δx = 3, Δy = 4, Δz = 0입니다.
- 거리: √(3² + 4² + 0²) = √25 = 5입니다.
- 중점: ((1 + 4)/2, (2 + 6)/2, 0) = (2.5, 4, 0)입니다.
- 기울기: 4 ÷ 3 ≈ 1.333333333입니다.
| y₂ | 거리 |
|---|---|
| 1.5 | 3.041381265 |
| 3 | 3.16227766 |
| 4.5 | 3.905124838 |
| 6 | 5 |
| 7.5 | 6.264982043 |
| 9 | 7.615773106 |
| 12 | 10.44030651 |
결과 해석
거리 5는 선분이 어느 방향을 향하든 길이가 5라는 뜻입니다. 중점 (2.5, 4)는 양 끝점에서 각각 2.5만큼 떨어져 있습니다. 기울기 1.33은 x가 3 늘 때 y가 4 늘어난다는 의미입니다. 기울기가 양수면 오른쪽 위로, 음수면 오른쪽 아래로 향하고, 0이면 수평선이며, x₁ = x₂인 수직선은 기울기를 정의할 수 없습니다. 공간에서의 기울기 값은 선분을 xy평면에 비춘 그림자의 기울기일 뿐입니다.
흔한 실수
- x₂ − y₁처럼 서로 다른 축의 좌표를 빼는 경우입니다.
- 제곱근을 항별로 나누어 √(9 + 16)을 3 + 4 = 7로 계산하는 경우입니다. 정답은 5입니다.
- 위도와 경도에 이 공식을 쓰는 경우입니다. 위경도는 각도이므로 먼 거리는 대원 거리(하버사인) 공식을 써야 합니다.
자주 묻는 질문
한 끝점과 중점을 알 때 다른 끝점은 어떻게 구하나요?
중점을 두 배 한 뒤 아는 끝점을 빼면 됩니다. P₂ = 2M − P₁이므로 M = (2.5, 4), P₁ = (1, 2)이면 P₂ = (4, 6)입니다.
예제 두 점의 맨해튼 거리는 얼마인가요?
|Δx| + |Δy| = 3 + 4 = 7입니다. 격자선을 따라서만 움직일 때의 경로 길이입니다.
거리가 음수가 될 수도 있나요?
아닙니다. 제곱의 합에 제곱근을 씌운 값이므로 항상 0 이상이며, 두 점이 같을 때만 0입니다.
출처: Euclid, Elements, Book I, Proposition 47 (Pythagorean theorem) · J. Stewart, Calculus: Early Transcendentals, Cengage, section on three-dimensional coordinate systems