홍라이프 계산기배가 시간 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 일정한 비율로 늘어나는 양이 두 배가 되는 데 걸리는 시간을 구합니다. 기간마다 복리로 붙는 비율, 연속 성장률, 두 번의 측정값 중 하나로 계산하며, 정확한 값과 70의 법칙, 72의 법칙을 비교합니다. 10배가 되는 시간도 알려 줍니다. 저축, 물가 상승, 인구와 세균 증가에 쓸 수 있습니다.
계산 방법
기간마다 복리 r: 배가 시간 = ln 2 ÷ ln(1 + r)
연속 성장률 k: 배가 시간 = ln 2 ÷ k ≈ 0.693 ÷ k
두 측정값: k = ln(나중 값 ÷ 처음 값) ÷ 경과 시간
70의 법칙 ≈ 70 ÷ 비율(%), 72의 법칙 ≈ 72 ÷ 비율(%)
10배가 되는 시간 = ln 10 ÷ ln(1 + r)
- 시간 단위는 입력한 기간의 단위(년, 일, 시간)와 같습니다.
원리
지수적 성장에서는 매 기간 같은 비율로 커지므로, 100에서 200이 되는 시간과 1,000에서 2,000이 되는 시간이 같습니다. (1 + r)ᵗ = 2를 t에 대해 풀면 공식이 나옵니다. ln 2 ≈ 0.693이므로 약 70을 비율(%)로 나누면 빠른 어림값이 됩니다. 72는 보통 수준의 연 복리에 조금 더 잘 맞고 여러 수로 나누어떨어져 널리 쓰입니다.
예제 풀이
기본값: 기간당 7%, 기간마다 복리.
- 정확한 배가 시간 = ln 2 ÷ ln 1.07 = 0.6931 ÷ 0.06766 = 10.24기간입니다.
- 70의 법칙: 70 ÷ 7 = 10, 72의 법칙: 72 ÷ 7 = 10.29입니다.
- 72의 법칙 오차 = (10.29 − 10.24) ÷ 10.24 ≈ 0.4%입니다.
- 같은 의미의 연속 성장률 k = ln 1.07 = 6.766%입니다.
- 10배가 되는 시간 = ln 10 ÷ ln 1.07 = 34.03기간입니다.
| 성장률 (기간당 %) | 두 배가 되는 시간 (기간) |
|---|---|
| 1.75 | 39.95 |
| 3.5 | 20.15 |
| 5.25 | 13.55 |
| 7 | 10.24 |
| 8.75 | 8.263 |
| 10.5 | 6.942 |
| 14 | 5.29 |
결과 해석
연 7%라면 돈은 약 10년 만에 두 배, 약 34년 만에 10배가 됩니다. 비용에도 같은 논리가 적용되어, 물가가 해마다 3% 오르면 약 23년 뒤 돈의 구매력이 절반이 됩니다. 어림 법칙은 보통 수준의 비율에서는 잘 맞지만 비율이 아주 높으면 벗어나므로 그때는 정확한 공식을 쓰십시오.
흔한 실수
- 직접 공식을 쓸 때 7%를 0.07이 아닌 7로 넣는 경우(이 계산기는 %로 입력합니다)
- 연속 성장에 72의 법칙을 쓰는 경우(70 또는 69.3이 더 맞습니다)
- 지수적 성장이 영원히 이어진다고 가정하는 경우
- 월 비율로 넣고 답을 연 단위로 읽는 것처럼 기간을 섞는 경우
자주 묻는 질문
7%로 돈이 두 배가 되려면 얼마나 걸리나요?
연 복리로 약 10.2년입니다.
왜 72의 법칙이라고 하나요?
72를 비율(%)로 나누면 흔한 연 이율에서 배가 시간에 가까운 값이 나오기 때문입니다.
70의 법칙은요?
ln 2 × 100 ≈ 69.3에 더 가까운 70을 쓰는 같은 방식으로, 연속 성장이나 낮은 비율에 알맞습니다.
출처: OpenStax, College Algebra 2e (2021), §6.7 Exponential and Logarithmic Models