홍라이프 계산기이집트 분수 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 고대 이집트 서기들처럼 분수를 서로 다른 단위분수(분자가 1인 분수)의 합으로 나타냅니다. 탐욕 알고리즘을 쓰며 각 단계를 보여 주고, 항의 개수, 가장 큰 분모, 소수 값을 알려 줍니다. 수학사, 수 퍼즐, 분수 연습에 쓸 수 있습니다.
계산 방법
남은 분수 p/q에 대한 탐욕(피보나치–실베스터) 방법:
- 들어갈 수 있는 가장 큰 단위분수 1/⌈q ÷ p⌉를 고릅니다.
- 그것을 빼고, 남은 분수로 나머지가 0이 될 때까지 반복합니다.
- 가분수는 먼저 자연수 부분을 떼어 냅니다.
- 정확한 정수 연산을 쓰며, ⌈ ⌉는 올림을 뜻합니다.
원리
모든 양의 분수는 서로 다른 단위분수의 합으로 쓸 수 있습니다. 탐욕 방법은 단계마다 남는 분수의 분자가 작아지기 때문에 반드시 끝납니다. p/q − 1/m = (pm − q)/(qm)에서 pm − q는 p보다 작습니다. 하지만 분모는 매우 빠르게 커질 수 있어서 5/121은 25자리 분모가 필요합니다. 또 탐욕 방법의 결과가 항상 가장 짧은 표현은 아닙니다.
예제 풀이
기본값: 4/13.
- ⌈13 ÷ 4⌉ = 4이므로 4/13 − 1/4 = 3/52입니다.
- ⌈52 ÷ 3⌉ = 18이므로 3/52 − 1/18 = 1/468입니다.
- 남은 수가 이미 단위분수이므로 1/468 − 1/468 = 0입니다.
- 이집트 분수는 1/4 + 1/18 + 1/468, 단위분수 3개, 가장 큰 분모 468입니다.
- 기약분수 4/13, 자연수 부분 0, 소수 0.3076923077입니다.
결과 해석
통분해서 더해 확인해 보십시오. 1/4 + 1/18 + 1/468 = 117/468 + 26/468 + 1/468 = 144/468 = 4/13입니다. 다른 표현도 있습니다. 예를 들어 4/13 = 1/4 + 1/26 + 1/52도 성립하며, 탐욕 방법의 답보다 분모가 작습니다. 이처럼 같은 분수를 여러 방법으로 나타내 보는 것은 분수의 덧셈과 통분을 연습하는 좋은 퍼즐이 됩니다.
흔한 실수
- 같은 단위분수를 두 번 쓰는 경우(이집트 분수에서는 허용되지 않습니다)
- q ÷ p를 올림하지 않고 내림해 너무 큰 단위분수를 고르는 경우
- 탐욕 방법의 결과가 가장 짧을 것이라 기대하는 경우
- 분수를 먼저 약분하지 않는 경우
자주 묻는 질문
이집트 분수란?
3/4 = 1/2 + 1/4처럼 서로 다른 단위분수의 합입니다.
모든 분수를 이렇게 쓸 수 있나요?
네, 모든 양의 분수에는 적어도 하나의 이집트 분수 표현이 있습니다.
탐욕 방법이 항상 가장 좋은가요?
아닙니다. 항상 답을 주지만, 더 짧거나 분모가 작은 표현이 있을 수 있습니다.
고대 이집트인은 왜 이런 방식을 썼나요?
이집트 수학 문헌에는 2/3 같은 몇몇 예외를 빼면 분수를 주로 단위분수의 합으로 적은 기록이 남아 있으며, 빵이나 곡식을 똑같이 나누는 문제에 쓰였습니다.
출처: E. W. Weisstein, "Egyptian Fraction", Wolfram MathWorld