홍라이프 계산기타원 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
타원은 두 고정점(초점)까지의 거리의 합이 일정한 점들의 모임으로, 원을 한쪽으로 늘인 모양입니다. 가장 긴 폭의 절반인 장반경 a와 가장 짧은 폭의 절반인 단반경 b로 나타내며, 이 계산기는 넓이, 둘레, 이심률, 초점까지의 거리를 구합니다. 행성의 궤도, 타원형 식탁과 육상 트랙, 아치, 비스듬히 자른 원기둥의 단면 등에서 볼 수 있습니다.
계산 방법
- 넓이: S = πab
- 둘레(라마누잔의 제2근사식): h = ((a − b)/(a + b))²라 하면 P ≈ π(a + b)[1 + 3h / (10 + √(4 − 3h))]
- 초점거리: c = √(a² − b²), 중심에서 각 초점까지의 거리
- 이심률: e = c / a = √(1 − b²/a²)
길이는 모두 같은 단위이며, 넓이는 그 단위의 제곱, 이심률은 단위가 없습니다.
원리
타원은 반지름 a인 원을 한 방향으로 b/a배 눌러 놓은 도형입니다. 한 방향으로 누르면 넓이도 같은 비율로 줄어들므로 πa² × (b/a) = πab가 됩니다. 둘레는 훨씬 어려워 초등함수로는 나타낼 수 없고 완전타원적분 4a·E(e)로만 정확히 표현됩니다. 라마누잔은 1914년 이 적분에 아주 가까운 근사식을 발표했는데, 제2근사식은 원에서는 정확하고 선분처럼 납작한 타원에서도 오차가 약 0.04% 이내입니다. c² = a² − b²는 단축의 끝점에서 두 초점까지의 거리가 각각 a라는 사실에서 나오며, 빗변 a, 두 변 b와 c인 직각삼각형이 만들어집니다.
예제 풀이
- 입력값은 a = 5, b = 3입니다.
- 넓이는 π × 5 × 3 = 15π ≈ 47.1238898입니다.
- h = (2/8)² = 0.0625이고, √(4 − 0.1875) ≈ 1.952562, 보정항은 0.1875 ÷ 11.952562 ≈ 0.015687입니다.
- 둘레는 π × 8 × 1.015687 ≈ 25.52699886입니다. 타원적분으로 구한 정확한 값과 유효숫자 9자리 정도까지 일치합니다.
- c = √(25 − 9) = 4, e = 4 ÷ 5 = 0.8입니다.
| 긴반지름 a | 넓이 |
|---|---|
| 1.25 | 11.78097245 |
| 2.5 | 23.5619449 |
| 3.75 | 35.34291735 |
| 5 | 47.1238898 |
| 6.25 | 58.90486225 |
| 7.5 | 70.68583471 |
| 10 | 94.24777961 |
결과 해석
이심률은 0(완전한 원)에서 1에 가까워질수록 납작해집니다. 지구 공전 궤도의 이심률은 약 0.017로 거의 원이고, 혜성 중에는 0.9를 넘는 것이 많습니다. 둘레는 반지름 b인 원과 반지름 a인 원의 둘레 사이에 있습니다.
흔한 실수
- 반경 대신 전체 축의 길이(2a, 2b)를 넣는 경우입니다.
- P = 2π√((a² + b²)/2)를 정확한 식으로 여기는 경우입니다. a = 5, b = 3이면 약 25.91로 1.5% 정도 틀립니다.
- 초점이 단축 위에 있다고 생각하는 경우입니다. 초점은 항상 장축 위에 있습니다.
자주 묻는 질문
타원 둘레의 정확한 공식은 없나요?
무한급수나 타원적분 4a·E(e)로만 나타낼 수 있고, 일반 함수로 된 닫힌 공식은 없습니다.
실로 타원을 그리는 방법은요?
거리 2c만큼 떨어진 두 초점에 핀을 꽂고, 길이 2a인 실을 걸어 팽팽하게 당긴 채 연필로 돌리면 됩니다.
a와 b가 같으면 어떻게 되나요?
c = 0, e = 0이 되어 원이 되고, 모든 식이 원의 공식과 같아집니다.
출처: S. Ramanujan, Modular equations and approximations to π, Quarterly Journal of Mathematics 45 (1914), 350–372 · NIST Digital Library of Mathematical Functions, §19.9 (elliptic integrals and the perimeter of an ellipse)