홍라이프 계산기타원체·캡슐 부피 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
타원체는 구를 세 방향으로 늘이거나 눌러 만든 입체로, 중심에서 각 축 방향으로 표면까지의 거리인 반축 a, b, c로 정해집니다. 달걀, 럭비공, 일부 탱크, 과일이나 장기의 부피를 어림할 때 이 모양으로 근사합니다. 캡슐은 원기둥 양 끝에 반구를 붙인 모양으로 알약, 압력 용기, 가스 실린더가 대표적입니다. 이 계산기는 같은 세 입력값으로 두 부피를 함께 구합니다.
계산 방법
- 타원체: V = (4/3)π × a × b × c입니다.
- 캡슐: V = πa² × c + (4/3)πa³ = πa²((4/3)a + c)입니다. a는 반지름, c는 곧은 원기둥 부분의 길이입니다.
캡슐 계산에는 b가 쓰이지 않으며, 캡슐의 전체 길이는 c + 2a입니다. 길이 단위를 하나로 맞추면 부피는 세제곱 단위로 나옵니다.
원리
반지름 1인 구의 부피는 4π/3입니다. 이 구를 x축 방향으로 a배, y축으로 b배, z축으로 c배 늘이면 x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1인 타원체가 됩니다. 한 방향으로 늘이면 부피도 그 배수만큼 커지므로 세 방향을 모두 늘이면 부피는 abc배가 됩니다. a = b = c = r이면 구의 부피 4πr³/3으로 돌아갑니다.
캡슐은 익숙한 두 부분의 합입니다. 부피 πa²c인 원기둥과, 합치면 반지름 a인 구 하나가 되는 양 끝의 반구 두 개입니다.
일반적인 타원체의 겉넓이는 초등함수로 된 공식이 없고 타원적분이나 근사식이 필요하므로 여기서는 부피만 보여 줍니다.
예제 풀이
- 입력값: a = 3, b = 2, c = 4입니다.
- 타원체: (4/3)π × 3 × 2 × 4 = 32π ≈ 100.5309649입니다.
- 캡슐의 원기둥 부분: π × 3² × 4 = 36π ≈ 113.097입니다.
- 캡슐의 양 끝(구 하나): (4/3)π × 3³ = 36π ≈ 113.097입니다.
- 캡슐 전체: 72π ≈ 226.1946711이며, 길이 4 + 2 × 3 = 10, 지름 6인 캡슐입니다.
| 반축 a / 캡슐 반지름 | 타원체 부피 |
|---|---|
| 0.75 | 25.13274123 |
| 1.5 | 50.26548246 |
| 2.25 | 75.39822369 |
| 3 | 100.5309649 |
| 3.75 | 125.6637061 |
| 4.5 | 150.7964474 |
| 6 | 201.0619298 |
결과 해석
타원체는 자신을 감싸는 2a × 2b × 2c 상자의 π/6, 곧 약 52.4%를 차지하며 이는 정육면체 속 구와 같은 비율입니다. 예제의 상자는 6 × 4 × 8 = 192이고 100.53 ÷ 192 ≈ 0.524입니다. 캡슐은 원기둥 부분이 짧을수록 둥근 끝이 차지하는 비중이 커집니다. 단위가 cm라면 cm³를 1,000으로 나누어 리터로 바꿀 수 있습니다.
흔한 실수
- 반축 대신 축의 전체 길이(지름)를 넣는 경우입니다. 부피가 여덟 배로 커집니다.
- 캡슐의 전체 길이를 c로 넣는 경우입니다. 전체 길이에서 2a를 뺀 값이 c입니다.
- 달걀을 정확한 타원체로 보는 경우입니다. 실제 달걀은 한쪽이 더 뾰족하므로 결과는 근삿값입니다.
자주 묻는 질문
달걀이나 과일의 부피는 어떻게 어림하나요?
길이, 너비, 두께를 재서 각각 반으로 나눈 값을 a, b, c로 넣으면 됩니다. 어디까지나 근삿값입니다.
회전타원체란 무엇인가요?
두 반축이 같은 타원체입니다. a = b일 때 c가 더 작으면 납작한 모양, 더 크면 길쭉한 모양이 됩니다.
타원체의 겉넓이는 왜 나오지 않나요?
회전타원체를 제외하면 타원적분이 필요해 간단한 공식이 없습니다. 근사식은 있지만 정확한 값은 아닙니다.
출처: D. Zwillinger (ed.), CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, CRC Press · NIST Digital Library of Mathematical Functions, chapter 19 (elliptic integrals)