홍라이프 계산기경험 법칙 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 종 모양 자료에 68–95–99.7 법칙을 적용합니다. 평균과 표준편차로 값의 약 68%, 95%, 99.7%가 들어가는 범위를 구하고, 원하는 값의 z점수와 정규곡선에서 그 값보다 아래에 있는 비율도 알려 줍니다. 시험 점수, 측정값, 품질 검사에 쓸 수 있습니다.
계산 방법
μ ± σ 안에 약 68%, μ ± 2σ 안에 약 95%, μ ± 3σ 안에 약 99.7%
정확한 정규분포 비율: 68.27%, 95.45%, 99.73%
z = (x − μ) ÷ σ, x보다 아래 비율 = Φ(z) (표준정규분포 누적확률)
원리
정규분포에서는 평균과 퍼짐이 어떻든 평균에서 표준편차 몇 배 안에 드는 비율이 항상 같습니다. 그래서 세 개의 쉬운 숫자로 모든 종 모양 곡선을 설명할 수 있습니다. z점수는 값을 '평균에서 표준편차 몇 배 떨어졌는가'로 바꿔 주어, 척도가 다른 값끼리도 비교할 수 있게 합니다. 이 법칙은 종 모양일 때만 잘 맞습니다. 치우쳤거나 꼬리가 두꺼운 자료에서는 크게 어긋날 수 있으며, 체비쇼프 부등식이 느슨하지만 항상 성립하는 대안입니다.
예제 풀이
기본값: μ = 70, σ = 8, 값 86.
- 약 68%는 70 ± 8, 즉 62 – 78에 있습니다.
- 약 95%는 70 ± 16, 즉 54 – 86에 있습니다.
- 약 99.7%는 70 ± 24, 즉 46 – 94에 있으며, 정확한 비율은 68.27% / 95.45% / 99.73%입니다.
- 86의 z점수 = (86 − 70) ÷ 8 = 2로 2σ 범위의 경계에 있습니다(화면에는 평균에서 1σ와 2σ 사이로 표시).
- 86보다 아래 비율 = Φ(2) = 97.7%입니다.
| 평균 μ | 내 값보다 작은 비율 (정규분포 기준) |
|---|---|
| 17.5 | 100% |
| 35 | 100% |
| 52.5 | 100% |
| 70 | 97.7% |
| 87.5 | 42.6% |
| 105 | 0.9% |
| 140 | 0% |
결과 해석
여기서 86점은 정규분포를 이루는 집단의 약 97.7%보다 높은 점수입니다. 2σ 밖의 값은 전체의 약 20번에 1번(한쪽으로는 약 40번에 1번), 3σ 밖은 1,000번에 약 3번 나오므로, 오류인지 실제 이상값인지 한 번 더 살펴볼 만합니다. 서로 다른 시험의 점수를 비교할 때도 z점수로 바꾸면 어느 쪽이 상대적으로 더 잘한 것인지 알 수 있습니다.
흔한 실수
- 소득처럼 뚜렷이 치우친 자료에 이 법칙을 쓰는 경우
- 모표준편차 대신 대충 짐작한 값을 쓰는 경우
- 95%가 μ − 2σ보다 위에 있다고 생각하는 경우(μ − 2σ와 μ + 2σ 사이입니다)
- 비율이 근삿값이라는 점을 잊는 경우
자주 묻는 질문
68–95–99.7 법칙이란?
정규분포에서 값의 약 68%, 95%, 99.7%가 평균에서 1, 2, 3 표준편차 안에 있다는 법칙입니다.
z점수 2는 몇 백분위인가요?
약 97.7백분위입니다.
자료가 정규분포가 아니면요?
어떤 분포든 2σ 안에 적어도 75%를 보장하는 체비쇼프 정리를 쓰십시오.
1σ 범위 밖에는 얼마나 있나요?
약 32%로, 양쪽에 약 16%씩 있습니다.
출처: OpenStax, Introductory Statistics 2e (2023), §6.1 The Standard Normal Distribution