홍라이프 계산기끝점 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 선분의 한 끝점과 중점을 알 때 나머지 끝점을 구합니다. 선분의 길이와 그 절반도 함께 보여 줍니다. 중점 공식을 거꾸로 쓰는 문제는 시험에 자주 나오므로 원리를 익혀 두면 좋습니다. 좌표기하 숙제, 지도 작업, 디자인 배치에 쓸 수 있습니다.
계산 방법
중점 공식: M = ((x₁ + x₂) ÷ 2, (y₁ + y₂) ÷ 2)
다른 끝점으로 풀면: x₂ = 2xₘ − x₁, y₂ = 2yₘ − y₁
선분 AB의 길이 = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²), AM = MB = AB ÷ 2
원리
중점은 선분을 길이가 같은 두 부분으로 나누는 점입니다. 중점은 정확히 한가운데이므로 A에서 M으로 가는 걸음과 M에서 B로 가는 걸음이 같습니다. M에서 그 걸음을 한 번 더 가면 B에 닿습니다. 좌표로는 걸음이 (xₘ − x₁, yₘ − y₁)이고, B = M + 걸음 = (2xₘ − x₁, 2yₘ − y₁)입니다. 길이는 가로와 세로 차이에 피타고라스 정리를 적용한 거리 공식으로 구합니다.
예제 풀이
기본값: A = (2, −1), M = (5, 3).
- x₂ = 2 × 5 − 2 = 8입니다.
- y₂ = 2 × 3 − (−1) = 7입니다.
- 다른 끝점은 B = (8, 7)입니다.
- 길이 AB = √(6² + 8²) = √100 = 10입니다.
- AM = MB = 5입니다.
결과 해석
M이 정말 중점인지 확인해 보십시오. ((2 + 8) ÷ 2, (−1 + 7) ÷ 2) = (5, 3)입니다. 이 예에서 A에서 M으로 가는 걸음은 (3, 4)로 3–4–5 직각삼각형이라 절반 길이가 정확히 5입니다. 좌표를 모눈종이에 찍어 보면 A, M, B가 한 직선 위에 같은 간격으로 놓인 것을 눈으로 확인할 수 있습니다. 같은 방법으로 점을 대칭이동할 때도 쓸 수 있습니다. 점 A를 점 M에 대해 대칭이동한 점이 바로 B이기 때문입니다.
흔한 실수
- M을 두 배 해서 A를 빼지 않고 A와 M을 평균하는 경우(그러면 A와 M 사이의 점이 나옵니다)
- 알고 있는 좌표가 음수일 때 부호를 빠뜨리는 경우
- 어느 점이 중점인지 혼동하는 경우
- 3차원에서 z좌표를 빼먹는 경우
- 거리 공식에서 차이를 제곱하지 않고 그대로 더하는 경우
자주 묻는 질문
중점으로 끝점은 어떻게 구하나요?
중점 좌표를 두 배 해서 알고 있는 끝점을 뺍니다. x₂ = 2xₘ − x₁, y₂ = 2yₘ − y₁입니다.
3차원에서도 되나요?
네, z에도 같은 규칙을 적용합니다.
선분의 길이는?
두 끝점에 거리 공식을 쓰며, 이 예에서는 10입니다.
선분을 세 등분하는 점도 구할 수 있나요?
같은 원리로, A에서 B까지 걸음의 3분의 1씩 더하면 됩니다. 이 예에서는 (4, 5/3)과 (6, 13/3)입니다.
출처: OpenStax, College Algebra 2e (2021), §2.1 The Rectangular Coordinate Systems and Graphs