홍라이프 계산기오일러 다면체 공식 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 오일러 공식 V − E + F = 2로 다면체의 꼭짓점, 모서리, 면 가운데 모르는 하나를 구하거나 세 값을 모두 확인합니다. 구멍이 뚫린 입체도 다루고, 그런 개수가 가능한지 검사하며, 정다면체와 개수가 같은지도 알려 줍니다. 기하 숙제와 3D 모델 점검에 쓸 수 있습니다.
계산 방법
V − E + F = 2 − 2g, g는 입체를 관통하는 구멍 수(보통 다면체는 g = 0)
g = 0일 때: E = V + F − 2, V = 2 + E − F, F = 2 + E − V
가능성 검사: 2E ≥ 3F, 2E ≥ 3V
- 마지막 줄은 다섯 정다면체와 개수를 비교하며, 개수가 같다고 모양이 같다는 증명은 아닙니다.
원리
모든 모서리는 꼭짓점 두 개를 잇고 면 두 개와 맞닿습니다. 구멍 없는 다면체를 평면에 펼쳐 놓고 면을 하나씩 지우거나 모서리를 하나씩 줄여 가도 V − E + F는 변하지 않고 마지막에 2가 남습니다. 입체를 관통하는 구멍이 하나 생길 때마다 이 값은 2씩 줄어듭니다. 부등식은 모서리 끝을 세어서 나옵니다. 모든 면은 모서리가 3개 이상, 모든 꼭짓점에는 모서리가 3개 이상 모이고, 각 모서리는 두 번씩 세어지기 때문입니다.
예제 풀이
기본값: 모서리 구하기, V = 8, F = 6, 구멍 없음.
- E = V + F − 2 = 8 + 6 − 2 = 12이므로 E = 12입니다.
- 확인: V − E + F = 8 − 12 + 6 = 2로 기대값 2(2 − 2 × 0)와 같습니다.
- 공식이 성립합니다(개수가 맞음).
- 2E = 24 ≥ 3F = 18, ≥ 3V = 24로 둘 다 성립합니다.
- 정다면체 중 정육면체와 개수가 같습니다.
| 꼭짓점 V | 결과 |
|---|---|
| 2 | E = 6 |
| 4 | E = 8 |
| 6 | E = 10 |
| 8 | E = 12 |
| 10 | E = 14 |
| 12 | E = 16 |
| 16 | E = 20 |
결과 해석
구멍 없는 입체인데 V − E + F가 2가 아니라면 어딘가 잘못 센 것이므로, 손으로 센 개수나 3D 모델을 점검할 때 유용합니다. 서로 다른 모양이 같은 개수를 가질 수 있어서, 정다면체와 일치한다는 결과는 참고일 뿐입니다. 예를 들어 축구공 모양의 깎은 정이십면체도 V = 60, E = 90, F = 32로 60 − 90 + 32 = 2가 됩니다.
흔한 실수
- 모서리를 면마다 한 번씩, 두 번 세는 경우
- 터널이 뚫린 입체에 V − E + F = 2를 쓰는 경우
- 그림 뒤쪽에 숨은 면이나 꼭짓점을 빠뜨리는 경우
- 공식을 만족하면 반드시 실제 다면체가 존재한다고 생각하는 경우
자주 묻는 질문
오일러의 다면체 공식이란?
볼록 다면체, 또는 구멍 없는 다면체에서 V − E + F = 2가 성립한다는 공식입니다.
정육면체의 모서리는 몇 개인가요?
8 − 12 + 6 = 2이므로 12개입니다.
도넛 모양 입체는 어떻게 되나요?
구멍이 하나면 V − E + F = 0입니다.
다섯 정다면체는 무엇인가요?
정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체이며, 모두 V − E + F = 2를 만족합니다.
출처: E. W. Weisstein, "Polyhedral Formula", Wolfram MathWorld