홍라이프 계산기로그 전개 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 곱, 몫, 거듭제곱의 로그를 곱·몫·거듭제곱 법칙으로 더 간단한 로그들의 합과 차로 전개합니다. 전개할 식, 사용한 법칙, 로그 항의 개수를 보여 줍니다. 대수와 미적분 입문 연습 문제, 로그를 미분하기 전 준비에 쓸 수 있습니다.
계산 방법
곱의 법칙: log_b(MN) = log_b(M) + log_b(N)
몫의 법칙: log_b(M/N) = log_b(M) − log_b(N)
거듭제곱 법칙: log_b(Mⁿ) = n·log_b(M)
- 거듭제곱근도 거듭제곱입니다: √M = M^(1/2), ∛M = M^(1/3)
- (x + 1)처럼 합이 들어 있는 괄호는 나눌 수 없습니다. log(M + N)에 대한 법칙은 없습니다.
- 모든 로그가 정의되도록 변수는 양수라고 가정합니다.
원리
로그는 지수이고, 밑이 같은 거듭제곱을 곱하면 지수가 더해집니다. bᵐ × bⁿ = bᵐ⁺ⁿ입니다. 여기에 로그를 취하면 log(MN) = log M + log N이 됩니다. 나눗셈은 지수를 빼므로 몫의 법칙이, 같은 수를 거듭 곱하면 거듭제곱 법칙이 나옵니다. 로그 안의 곱보다 합이 미분하고, 어림하고, 방정식을 풀기에 쉽기 때문에 전개가 유용합니다.
예제 풀이
기본값: log(x³y²/z), 밑 10.
- 전개할 로그는 log(x^3 y^2 / z)입니다.
- 몫의 법칙: log(x³y²) − log(z)입니다.
- 곱의 법칙: log(x³) + log(y²) − log(z)입니다.
- 거듭제곱 법칙: 3 log(x) + 2 log(y) − log(z)입니다.
- 사용한 법칙은 곱·몫·거듭제곱 법칙, 로그 항은 3개이며, 인수가 문자라 수치 값은 없습니다(—).
결과 해석
분자의 각 인수는 더하기 항, 분모의 각 인수는 빼기 항이 되고, 각각 자기 지수가 앞으로 나옵니다. 숫자를 넣어 확인해 보십시오. x = 10, y = 10, z = 10이면 원래 식은 log(10⁴) = 4이고, 전개한 식도 3 + 2 − 1 = 4입니다. 로그 전개는 로그 합치기의 반대 과정이므로, 전개한 결과를 다시 합쳐 원래 식이 나오는지 보는 것도 좋은 검산입니다.
흔한 실수
- log(x + y)를 log x + log y로 나누는 경우
- 근호에 거듭제곱 법칙을 적용하지 않는 경우: log √x = ½ log x
- log(xy)²를 2 log x + log y처럼 지수를 한 인수에만 붙이는 경우
- 진수가 양수여야 한다는 정의역 조건을 무시하는 경우
자주 묻는 질문
로그는 어떻게 전개하나요?
곱은 합으로, 몫은 차로 나누고, 지수는 앞으로 꺼냅니다.
log(x + y)도 전개할 수 있나요?
없습니다. 합의 로그에 대한 법칙은 없습니다.
ln √(x/y)를 전개하면?
½ ln x − ½ ln y입니다.
밑이 달라도 같은 법칙인가요?
네, 밑이 무엇이든 세 법칙은 똑같이 성립합니다. 다만 한 식 안의 로그는 같은 밑이어야 합니다.
출처: OpenStax, College Algebra 2e (2021), §6.5 Logarithmic Properties