홍라이프 계산기기대효용 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 위험이 있는 두 선택지를 기대효용으로 비교합니다. 각 선택지의 결과와 확률, 현재 재산을 넣고 효용함수(선형, 로그, 거듭제곱, 지수)를 고르면, 더 나은 선택지와 각 선택지의 기댓값, 확실성 등가액, 위험 프리미엄을 알려 줍니다. 경제학, 의사결정론, 재무 수업에 쓸 수 있습니다.
계산 방법
기댓값 EV = Σ pᵢ × xᵢ
기대효용 EU = Σ pᵢ × u(W₀ + xᵢ)
확실성 등가액 CE: u(W₀ + CE) = EU가 되는 확실한 금액
위험 프리미엄 = EV − CE
- 효용함수: 선형 u = W(위험 중립), 로그 u = ln W, 거듭제곱(CRRA) u = W^(1−ρ) ÷ (1−ρ), 지수(CARA) u = −e^(−aW)
- 로그와 거듭제곱 효용은 최종 재산이 양수여야 합니다.
원리
사람들은 평균이 더 높은 도박보다 확실한 금액을 고르는 경우가 많습니다. 기대효용 이론은 이를 오목한 효용함수로 설명합니다. 돈이 한 단위 늘 때마다 더해지는 만족은 앞의 단위보다 작아서, 같은 크기의 손실이 이익보다 더 아프게 느껴집니다. 그래서 돈이 아니라 효용을 평균하면 결과의 퍼짐에 불이익이 생깁니다. 확실성 등가액은 추상적인 효용을 다시 돈으로 바꾼 값이고, 기댓값과의 차이가 이 사람에게 위험이 얼마나 비싼지를 나타냅니다.
예제 풀이
기본값: A = 50% 확률로 100,000, 50% 확률로 0, B = 100% 확률로 40,000, 재산 50,000, 로그 효용.
- 기댓값: A = 0.5 × 100,000 = 50,000, B = 40,000입니다.
- EU(A) = 0.5 ln 150,000 + 0.5 ln 50,000 = 0.5 × 11.9184 + 0.5 × 10.8198 = 11.3691입니다.
- EU(B) = ln 90,000 = 11.4076으로 더 크므로 선택지 B(기대효용이 더 큼)를 고릅니다.
- A의 CE: e^11.3691 − 50,000 = 86,602.54 − 50,000 = 36,602.54, B의 CE = 40,000입니다.
- 위험 프리미엄: A = 50,000 − 36,602.54 = 13,397.46, B = 0입니다.
결과 해석
로그 효용에 재산이 50,000이면, 100,000을 건 동전 던지기는 평균이 더 높은데도 확실한 돈으로 약 36,600의 가치밖에 없어 안전한 40,000보다 못합니다. 재산이 많을수록 도박이 전체 재산에서 차지하는 비중이 작아져 위험 프리미엄이 줄고, 선형 효용이면 위험 프리미엄이 사라져 기댓값이 큰 쪽이 이깁니다.
흔한 실수
- 서로 다른 효용함수의 기대효용 값을 비교하는 경우(같은 함수 안의 순서만 의미가 있습니다)
- 모든 결과에 현재 재산을 더하지 않는 경우
- 확률의 합이 100%가 아닌 경우
- 효용 값을 돈으로 읽는 경우(돈으로는 확실성 등가액을 보십시오)
자주 묻는 질문
확실성 등가액이란?
위험한 선택지와 같은 기대효용을 주는 확실한 금액입니다.
위험 프리미엄이란?
기댓값에서 확실성 등가액을 뺀 값으로, 위험을 피하려는 사람이 포기할 의향이 있는 금액입니다.
왜 로그 효용을 쓰나요?
재산이 같은 비율로 변하면 항상 같은 크기로 느끼는 단순한 오목 함수이기 때문입니다.
출처: J. von Neumann & O. Morgenstern (1944), Theory of Games and Economic Behavior, Princeton University Press