홍라이프 계산기기댓값·분산 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이산확률변수의 기댓값 E[X]는 확률을 가중치로 한 평균으로, 같은 상황을 아주 많이 반복했을 때 나타나는 장기 평균입니다. 분산과 표준편차는 각 결과가 그 평균에서 얼마나 흩어져 있는지를 나타냅니다. 복권이나 게임의 유불리를 따질 때, 보험료를 산정할 때, 결과가 불확실한 의사결정을 비교할 때, 표로 주어진 확률분포를 요약할 때 씁니다.
계산 방법
결과값 x₁, x₂, …과 확률 p₁, p₂, …를 같은 개수의 쉼표 목록으로 입력합니다.
- 기댓값: E[X] = Σ xᵢ·pᵢ
- 분산: Var(X) = Σ pᵢ·(xᵢ − E[X])² = E[X²] − (E[X])²
- 표준편차: σ = √Var(X)이며 x와 단위가 같습니다.
- Σp: 확률의 합으로, 1인지 확인하는 용도입니다.
원리
확률을 수직선 위에 놓인 무게라고 생각하면 E[X]는 그 무게들이 균형을 이루는 점, 곧 무게중심입니다. 큰수의 법칙에 따라 독립적인 반복의 평균은 E[X]에 가까워집니다. 분산은 편차를 제곱하므로 평균 위아래의 차이가 상쇄되지 않고 큰 편차일수록 더 크게 반영됩니다. 제곱근을 씌우면 원래 단위로 돌아옵니다. 또한 E[aX + b] = aE[X] + b, Var(aX + b) = a²Var(X)가 성립합니다.
예제 풀이
- 기본 입력: x = 0, 10, 100, p = 0.7, 0.25, 0.05(합 1)
- E[X] = 0×0.7 + 10×0.25 + 100×0.05 = 0 + 2.5 + 5 = 7.5
- 0.7×(−7.5)² = 39.375, 0.25×2.5² = 1.5625, 0.05×92.5² = 427.8125
- 분산 = 39.375 + 1.5625 + 427.8125 = 468.75(검산: E[X²] = 525, 525 − 7.5² = 468.75)
- 표준편차 = √468.75 ≈ 21.65063509
결과 해석
결과값이 당첨금이고 한 장에 10이라면 한 번 할 때마다 기대 손익은 7.5 − 10 = −2.5입니다. 스무 번에 한 번 100을 받더라도 오래 하면 손해라는 뜻입니다. 표준편차 21.65가 평균의 세 배 가까이 되는 것은 드물게 나오는 큰 값이 결과를 좌우한다는 의미입니다. 장기 평균은 E[X]로, 위험의 크기는 σ로 비교하십시오.
흔한 실수
- 반올림이나 빠진 경우 때문에 확률의 합이 1이 아닌 경우(Σp를 확인하십시오)
- 기댓값을 가장 자주 나오는 값으로 오해하는 경우(예제에서 최빈값은 0입니다)
- 자료의 표본분산(n − 1로 나눔)과 확률분포의 분산을 혼동하는 경우
자주 묻는 질문
기댓값이 실제로 나올 수 없는 값일 수도 있나요?
그렇습니다. 주사위의 기댓값은 3.5이지만 3.5라는 눈은 없습니다.
기댓값이 양수이면 항상 유리한가요?
꼭 그렇지는 않습니다. 분산이 크면 평균이 드러나기 전에 한정된 자금이 바닥날 수 있습니다.
자료의 평균과는 무엇이 다른가요?
자료의 평균은 관측값마다 같은 무게를 주고, 기댓값은 확률만큼 무게를 줍니다. 상대도수를 확률로 쓰면 두 값이 같아집니다.
출처: Sheldon M. Ross, A First Course in Probability, Pearson · William Feller, An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1, Wiley