홍라이프 계산기지수분포 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
지수분포 계산기는 사건이 일정한 평균 비율 λ로 일어날 때, 기다리는 시간이 정한 시간 x보다 짧거나 길 확률을 구합니다. 평균 대기 시간과 중앙값도 함께 알려 줍니다. 다음 손님이 올 때까지의 시간, 상담 전화 사이의 간격, 고장률이 일정한 부품의 수명, 방사성 붕괴 등에 쓰입니다.
계산 방법
- P(X ≤ x) = 1 − e^(−λx)로, 시간 x까지 사건이 일어났을 확률입니다.
- P(X > x) = e^(−λx)로, 시간 x가 지나도 아직 기다리고 있을 확률(생존함수)입니다.
- 평균 = 1/λ로, 평균 대기 시간입니다.
- 중앙값 = ln 2 ÷ λ ≈ 0.6931 ÷ λ로, 절반의 대기가 끝나는 시간입니다.
λ는 단위 시간당 사건 수이며 x는 같은 시간 단위로 넣어야 합니다. λ가 시간당이면 x도 시간입니다. 분산은 1/λ²이므로 표준편차는 평균과 같습니다.
원리
사건이 서로 독립적으로 일정한 비율로 일어나면(푸아송 과정) 시간 x 동안의 사건 수는 평균 λx인 푸아송분포를 따릅니다. x보다 오래 기다린다는 것은 그 시간 동안 사건이 한 번도 없다는 뜻이고, 그 확률이 e^(−λx)입니다. 이것이 바로 생존함수입니다. 지수분포는 연속분포 가운데 유일하게 무기억성을 가집니다. 즉 P(X > s + t | X > s) = P(X > t)이므로, 이미 기다린 시간은 앞으로의 대기에 영향을 주지 않습니다. 오른쪽 꼬리가 길어 중앙값이 평균보다 작습니다.
예제 풀이
- 입력값: λ = 0.5(단위 시간당), x = 3입니다.
- λx = 0.5 × 3 = 1.5이고 e^(−1.5) ≈ 0.22313입니다.
- P(X ≤ 3) = 1 − 0.22313 ≈ 0.7769, P(X > 3) ≈ 0.2231입니다.
- 평균 = 1 ÷ 0.5 = 2, 중앙값 = 0.693147 ÷ 0.5 ≈ 1.3863입니다.
| 발생률 λ (단위시간당) | P(X ≤ x) |
|---|---|
| 0.125 | 0.3127107212 |
| 0.25 | 0.5276334473 |
| 0.375 | 0.6753475326 |
| 0.5 | 0.7768698399 |
| 0.625 | 0.8466450332 |
| 0.75 | 0.8946007754 |
| 1 | 0.9502129316 |
결과 해석
평균 대기 시간이 2일 때 3 안에 사건이 일어날 확률은 약 78%입니다. x가 평균과 같으면 P(X ≤ x)는 언제나 1 − e^(−1) ≈ 63.2%이므로, 대부분의 대기는 평균보다 짧습니다. 평균의 3배 넘게 기다릴 확률은 e^(−3) ≈ 5%입니다.
흔한 실수
- 평균 대기 시간을 λ 칸에 넣는 경우(λ는 그 역수입니다)
- λ는 시간당인데 x를 분 단위로 넣는 경우
- 오래 쓸수록 고장률이 커지는 마모 고장에 적용하는 경우(이때는 와이블 분포가 더 알맞습니다)
자주 묻는 질문
무기억성은 실제로 어떤 뜻인가요?
버스 도착이 지수분포를 따른다면 이미 10분을 기다렸어도 앞으로 남은 평균 대기 시간은 처음 도착했을 때와 같다는 뜻입니다.
자료에서 λ는 어떻게 구하나요?
사건 수를 전체 관찰 시간으로 나누거나 평균 대기 시간의 역수를 취합니다.
두 시각 a와 b 사이에 일어날 확률은요?
e^(−λa) − e^(−λb)입니다.
출처: Ross, S. M., A First Course in Probability (Pearson), chapter on continuous random variables · NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.6.6.7 Exponential Distribution