홍라이프 계산기지수방정식 풀이 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
지수방정식은 미지수가 지수에 들어 있는 방정식입니다. 이 계산기는 가장 흔한 형태인 a · bˣ = c를 로그를 이용해 정확하게 풀어 줍니다. 이런 방정식은 일정한 비율로 늘거나 줄어드는 현상, 예를 들어 복리, 인구 증가, 방사성 붕괴, 두 배가 되는 시간, 반감기, 냉각 문제에서 자주 등장합니다.
계산 방법
양변을 a로 나눈 뒤 양변에 로그를 취합니다.
- bˣ = c ÷ a
- x · ln b = ln(c ÷ a)
- x = ln(c ÷ a) ÷ ln b
a는 처음 값, b는 한 단계마다 곱해지는 비율(b > 1이면 증가, 0 < b < 1이면 감소), c는 목표 값입니다. x는 단계 수이며 단위는 한 단계가 뜻하는 기간(년, 회, 반감기 등)을 따릅니다.
원리
로그는 거듭제곱의 역연산입니다. ln(bˣ) = x · ln b라는 성질 덕분에 지수에 있던 미지수가 평범한 곱셈으로 내려오므로 일차방정식처럼 풀 수 있습니다. 로그의 밑은 무엇을 써도 됩니다. ln(c/a) ÷ ln b는 상용로그로 계산한 log(c/a) ÷ log b와 같기 때문입니다. 이것이 밑변환 공식이며, 결국 x = log_b(c ÷ a)입니다.
예제 풀이
- 기본 입력값은 a = 5, b = 2, c = 160이므로 방정식은 5 · 2ˣ = 160입니다.
- 양변을 5로 나누면 2ˣ = 32입니다.
- 로그를 취하면 x = ln 32 ÷ ln 2 = 3.4657359 ÷ 0.6931472입니다.
- 결과는 x = 5입니다. 검산하면 5 · 2⁵ = 5 · 32 = 160입니다.
| a | x |
|---|---|
| 1.25 | 7 |
| 2.5 | 6 |
| 3.75 | 5.415037499 |
| 5 | 5 |
| 6.25 | 4.678071905 |
| 7.5 | 4.415037499 |
| 10 | 4 |
결과 해석
x가 양수이면 a에서 x단계 뒤에 c에 도달한다는 뜻이고, 음수이면 c가 a보다 과거의 값이라는 뜻입니다(증가하는 경우 c가 a보다 작을 때). x가 정수가 아니어도 자연스러운 결과입니다. x = 4.3이면 4.3기간이 걸린다는 의미입니다.
흔한 실수
- a로 나누기 전에 로그를 취해 ln(5 · 2ˣ)을 x ln 10으로 계산하는 실수입니다. 올바르게는 ln 5 + x ln 2입니다.
- 증가율을 그대로 b에 넣는 실수입니다. 연 7% 증가라면 b는 7이나 0.07이 아니라 1.07입니다.
- b = 1이나 b ≤ 0을 입력하는 경우로, 이때는 의미 있는 해가 없습니다.
- a와 c의 부호가 서로 다르게 입력하는 경우입니다. c ÷ a는 양수여야 합니다.
자주 묻는 질문
3ˣ = 2ˣ⁺¹ 같은 방정식은 어떻게 푸나요?
양변에 로그를 취하면 x ln 3 = (x + 1) ln 2이므로 x = ln 2 ÷ (ln 3 − ln 2) ≈ 1.7095입니다.
연 5% 복리로 원금이 두 배가 되려면 몇 년이 걸리나요?
1.05ˣ = 2를 풀면 x = ln 2 ÷ ln 1.05 ≈ 14.2년입니다. 세금과 수수료는 고려하지 않은 값입니다.
'72의 법칙'은 정확한가요?
72 ÷ 이율(%)로 구하는 근사식입니다. 5%이면 14.4년으로, 정확한 값 14.2년과 조금 다릅니다.
출처: NIST Digital Library of Mathematical Functions, §4.2 (dlmf.nist.gov) · 교육부, 2022 개정 수학과 교육과정(대수: 지수함수와 로그함수)