지수 함수 계산기 (두 점을 지나는 y = a·bˣ 구하기)

지수함수 구하기 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리

이 계산기는 주어진 두 점을 지나는 지수함수 y = a·bˣ을 구하고, 원하는 x에서 값을 계산합니다. 초기값 a, 증가 배수 b, x 한 단위당 변화율, 연속 성장률 k, 밑이 e인 같은 곡선, 배가 시간이나 반감기를 알려 줍니다. 증가와 감소에 관한 대수 문제에 쓸 수 있습니다.

계산 방법

y₁ = a·b^(x₁), y₂ = a·b^(x₂)에서:

b = (y₂ ÷ y₁)^(1/(x₂ − x₁)), a = y₁ ÷ b^(x₁)

x 한 단위당 변화율 = (b − 1) × 100%

k = ln b, y = a·e^(kx), 배가 시간(또는 반감기) = ln 2 ÷ |k|

• a·bˣ은 부호가 바뀌지 않으므로 두 y값의 부호가 같아야 합니다.

원리

지수함수에서는 x가 1 늘 때마다 y에 같은 수 b가 곱해집니다. 두 점의 식을 서로 나누면 a가 지워지고 x 간격만큼 거듭제곱한 b만 남으므로, 그 간격에 맞는 거듭제곱근을 취하면 b가 나옵니다. b를 알면 어느 점에서든 a를 구할 수 있습니다. a는 x = 0에서의 값, 곧 처음 양이고, b > 1이면 증가, 0 < b < 1이면 감소입니다.

예제 풀이

기본값: 점 (2, 18)과 (5, 486), x = 6에서 계산.

1. y₂ ÷ y₁ = 486 ÷ 18 = 27, 간격이 3이므로 b = 27^(1/3) = 3입니다.
2. a = 18 ÷ 3² = 2이므로 함수는 y = 2 · 3ˣ이고 증가(b > 1)입니다.
3. f(6) = 2 × 3⁶ = 2 × 729 = 1,458입니다.
4. 단위당 변화율 = (3 − 1) × 100 = 200%, k = ln 3 = 1.09861이므로 y = 2 · e^(1.09861x)입니다.
5. 배가 시간 = ln 2 ÷ ln 3 = x 단위로 0.6309입니다.

결과 해석

이 함수는 x가 한 단위 늘 때마다 y가 세 배가 되므로 약 0.63단위마다 두 배가 됩니다. 두 점에 모두 맞는지 확인해 보십시오. 2 × 3² = 18, 2 × 3⁵ = 486입니다. 실제 자료가 대략적으로만 지수 패턴을 따른다면, 두 점을 지나게 맞추기보다 더 많은 점으로 지수 회귀를 하는 편이 좋습니다.

흔한 실수

• y값을 나누지 않고 빼는 경우
• 거듭제곱근의 지수를 잘못 잡는 경우(x₂ − x₁이어야 합니다)
• 부호가 서로 다른 y값을 넣는 경우
• 200% 변화를 '두 배'로 읽는 경우(세 배라는 뜻입니다)

자주 묻는 질문

두 점으로 지수함수를 어떻게 구하나요?

y값을 나눠 x 간격만큼 거듭제곱한 b를 얻고, 거듭제곱근을 취한 뒤 a를 구합니다.

b는 무엇을 뜻하나요?

x가 1 늘 때 y에 곱해지는 배수입니다.

증가와 감소는 어떻게 구별하나요?

b > 1이면 증가, 0 < b < 1이면 감소입니다.

a가 음수일 수도 있나요?

됩니다. 두 y값이 모두 음수면 a도 음수이며, 곡선은 x축 아래에 놓입니다.

출처: OpenStax, College Algebra 2e (2021), §6.1 Exponential Functions