홍라이프 계산기지수적 성장 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 기간마다 일정한 비율로 늘거나 줄어드는 양을 계산합니다. t기간 뒤의 값, 변화량, 전체 증가 배수, 배가 시간이나 반감기, 같은 의미의 연속 성장률을 알려 줍니다. 저축, 인구, 물가, 세균, 방사성 붕괴에 쓸 수 있습니다.
계산 방법
기간마다 한 번: x(t) = x₀(1 + r)ᵗ
연속: x(t) = x₀·e^(kt), 같은 곡선이 되려면 k = ln(1 + r)
배가 시간 = ln 2 ÷ k, 반감기(음의 비율) = −ln 2 ÷ k
전체 증가 배수 = x(t) ÷ x₀
- 감소는 음의 비율로 넣으며, t는 정수가 아니어도 됩니다.
원리
지수적 성장은 매 기간 현재 양의 일정한 비율을 더하므로, 더해지는 양 자체도 커집니다. 커질수록 절대량으로는 더 빨리 늘어납니다. (1 + r)을 t번 곱하면 공식이 됩니다. 연속 성장은 복리 계산을 점점 더 자주 할 때의 극한으로, 여기서 e가 나옵니다. 기간당 배수가 일정하므로 크기에 상관없이 두 배가 되는 데 걸리는 시간은 같습니다.
예제 풀이
기본값: 처음 값 1,000, 기간당 5%, 10기간, 기간마다 한 번 적용.
- 증가 배수 = 1.05¹⁰ = 1.628894627입니다.
- 10기간 뒤의 값 = 1,000 × 1.628894627 = 1,628.894627입니다.
- 변화량 = 1,628.89 − 1,000 = 628.8946268입니다.
- 연속 성장률 k = ln 1.05 = 4.879016417%, 같은 의미의 기간당 비율은 5%입니다.
- 배가 시간 = ln 2 ÷ ln 1.05 = 14.20669908기간이며, 감소가 아니므로 반감기는 —입니다.
| 처음 값 | t기간 후의 값 |
|---|---|
| 250 | 407.2236567 |
| 500 | 814.4473134 |
| 750 | 1,221.67097 |
| 1,000 | 1,628.894627 |
| 1,250 | 2,036.118283 |
| 1,500 | 2,443.34194 |
| 2,000 | 3,257.789254 |
결과 해석
10기간 동안 전체 증가율은 약 62.9%로, 10 × 5% = 50%보다 훨씬 큽니다. 기간마다 앞의 성장 위에 다시 성장이 쌓이기 때문입니다. 시간이 갈수록 차이는 빠르게 벌어져서, 같은 비율이면 약 14.2기간에 두 배, 약 28.4기간에 네 배가 됩니다. 반대로 비율이 −5%인 감소라면 같은 공식으로 반감기를 구할 수 있습니다.
흔한 실수
- 매 기간 처음 값의 5%만 더하는 경우(그것은 선형 증가입니다)
- 연 비율과 월 기간을 섞는 경우
- %로 입력해야 하는데 0.05로 넣거나 그 반대로 넣는 경우
- 실제 성장이 영원히 지수적일 것이라 기대하는 경우
자주 묻는 질문
지수적 성장 공식은?
x(t) = x₀(1 + r)ᵗ이며, 연속 성장이면 x₀·e^(kt)입니다.
5%로 두 배가 되려면 얼마나 걸리나요?
약 14.2기간입니다.
감소는 어떻게 계산하나요?
음의 비율을 넣으면 반감기를 알려 줍니다.
연속 성장률과 기간당 비율은 왜 다른가요?
연속 성장은 순간마다 불어나므로 같은 결과를 내는 데 더 낮은 비율이면 충분합니다. 5%는 연속으로 약 4.88%입니다.
출처: OpenStax, College Algebra 2e (2021), §6.7 Exponential and Logarithmic Models