홍라이프 계산기지수 회귀 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 y의 로그에 최소제곱법을 적용해 자료점에 지수 모델 y = a·bˣ을 맞춥니다. a, b, x 한 단위당 변화율, 연속 성장률, 밑이 e인 같은 모델, 예측값, r², 배가 시간이나 반감기를 알려 줍니다. 공학용 계산기의 ExpReg 기능, 스프레드시트의 지수 추세선과 같은 방법입니다.
계산 방법
ln y = ln a + x·ln b, x에 대한 직선
ln y를 x에 대해 보통의 최소제곱법으로 맞춘 뒤 b = e^기울기, a = e^절편
x 한 단위당 변화율 = (b − 1) × 100%, k = ln b, 배가 시간 = ln 2 ÷ |k|
- r²는 적합을 한 로그 눈금에서 계산합니다.
- 모든 y값은 양수여야 합니다.
원리
로그를 취하면 곱셈이 덧셈으로 바뀌므로, x가 한 단위 늘 때마다 b가 곱해지는 곡선은 기울기가 ln b인 직선이 됩니다. 직선을 맞추는 것은 간단하고 잘 알려진 방법입니다. 다만 오차를 y 자체가 아니라 ln y에 대해 최소화하므로, 직접 비선형으로 맞출 때보다 작은 y값에 상대적으로 더 큰 비중을 둡니다. 두 방법은 보통 비슷하지만 완전히 같지는 않은 곡선을 줍니다.
예제 풀이
기본값: x = 0 … 5, y = 3.1, 4.4, 6.5, 9.2, 13.8, 19.9, x = 7에서 예측.
- 맞춘 모델은 y = 3.06312 · 1.45284ˣ, a = 3.06312, b = 1.45284입니다.
- x 한 단위당 변화율 = 45.28%, 연속 성장률 k = 0.373519이므로 y = 3.06312 · e^(0.373519x)입니다.
- r²(ln y와 x) = 0.999644, x와 ln y의 상관계수는 0.999822입니다.
- x = 7에서 예측: 3.06312 × 1.45284⁷ = 41.8491입니다.
- 배가 시간 = ln 2 ÷ 0.373519 = x 단위로 1.856입니다.
결과 해석
y는 x 한 단위마다 약 45%씩 늘고, 약 1.86단위마다 두 배가 됩니다. r²가 매우 높다는 것은 로그 눈금에서 점들이 거의 직선 위에 있다는 뜻입니다. x = 7의 예측은 자료보다 두 단계 바깥이며, 멀리 갈수록 b의 작은 오차가 거듭 곱해져 커집니다.
흔한 실수
- 0이나 음수인 y값을 넣는 경우
- 로그 눈금의 r²를 원래 눈금에서 맞춘 직선의 r²와 같은 척도로 비교하는 경우
- 자료 범위를 훨씬 넘어 외삽하는 경우
- b 자체를 변화율로 읽는 경우(변화율은 b − 1입니다)
자주 묻는 질문
지수 회귀는 어떻게 작동하나요?
ln y와 x에 직선을 맞춘 뒤 기울기와 절편을 b와 a로 되돌립니다.
y는 왜 양수여야 하나요?
0이나 음수의 로그는 정의되지 않기 때문입니다.
b = 1.45는 무슨 뜻인가요?
x가 한 단위 늘 때마다 y에 1.45가 곱해져 45% 늘어난다는 뜻입니다.
감소하는 자료에도 쓸 수 있나요?
네. 그때는 b가 1보다 작게 나오고, 배가 시간 대신 반감기를 보여 줍니다.
출처: NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, §4.1.4.1 Linear Least Squares Regression