홍라이프 계산기F분포 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
F분포 계산기는 F 통계량과 두 개의 자유도로 오른쪽 꼬리 p값을 구하고, 유의수준 α에 해당하는 임계 F값을 알려 줍니다. 일원·다원 분산분석(ANOVA), 회귀모형 전체의 유의성 검정, 두 모분산의 비교에서 사용합니다.
계산 방법
- p값(오른쪽 꼬리) = 1 − F(x; d₁, d₂)입니다.
- 임계 F는 F(c; d₁, d₂) = 1 − α를 만족하는 c이며 수치 탐색으로 구합니다.
누적분포함수는 정규화된 불완전 베타함수로 계산하며, u = d₁x ÷ (d₁x + d₂)일 때 F(x; d₁, d₂) = I_u(d₁/2, d₂/2)입니다. d₁은 분자 자유도, d₂는 분모 자유도입니다. 집단이 k개, 전체 관측값이 N개인 일원분산분석에서는 d₁ = k − 1, d₂ = N − k이고, 설명변수 p개와 관측값 n개인 회귀분석에서는 d₁ = p, d₂ = n − p − 1입니다.
원리
F는 서로 독립인 두 카이제곱변수를 각자의 자유도로 나눈 비, 즉 F = (χ²₁/d₁) ÷ (χ²₂/d₂)입니다. 분산분석에서 분자는 집단 평균 사이의 분산, 분모는 집단 내부의 분산입니다. 모든 집단의 평균이 같다면 둘 다 같은 오차분산을 추정하므로 F는 1 근처가 됩니다. 집단 간에 실제 차이가 있으면 분자가 커지므로 오른쪽 꼬리의 큰 F값이 귀무가설에 반하는 증거가 됩니다. d₁과 d₂의 순서를 바꾸면 다른 분포가 되므로 순서가 중요합니다.
예제 풀이
- 입력값: F = 3.2, d₁ = 3, d₂ = 20, α = 0.05입니다(예: 4개 집단, 관측값 24개).
- u = 3 × 3.2 ÷ (3 × 3.2 + 20) = 9.6 ÷ 29.6 ≈ 0.3243입니다.
- I_u(1.5, 10) ≈ 0.95453이므로 p값 = 1 − 0.95453 ≈ 0.0455입니다.
- F(c; 3, 20) = 0.95를 풀면 임계 F ≈ 3.0984입니다.
| F 통계량 | p-값 (오른쪽 꼬리) |
|---|---|
| 0.8 | 0.508404646 |
| 1.6 | 0.2208598872 |
| 2.4 | 0.0980479459 |
| 3.2 | 0.0454672299 |
| 4 | 0.0220769997 |
| 4.8 | 0.01119752 |
| 6.4 | 0.0032358633 |
결과 해석
3.2 > 3.098이고 p ≈ 0.045 < 0.05이므로 유의수준 5%에서 집단 평균 사이에 유의한 차이가 있습니다. 다만 F검정은 적어도 한 평균이 다르다는 것만 알려 주며, 어느 집단이 다른지는 Tukey 검정 같은 사후검정으로 확인합니다. 분모 자유도가 커질수록 분산 추정이 정밀해져 임계 F값이 작아집니다.
흔한 실수
- 분자와 분모의 자유도를 바꿔 넣는 경우
- F가 유의하면 모든 집단이 서로 다르다고 결론 내리는 경우
- 정규성이 크게 어긋난 자료에 두 분산 비교용 F검정을 쓰는 경우(이 검정은 정규성 위반에 매우 민감합니다)
자주 묻는 질문
F가 1보다 작을 수도 있나요?
네. 효과가 없을 때 흔히 나오며 p값은 크게 나옵니다.
F와 t는 어떤 관계인가요?
d₁ = 1이면 F는 자유도 d₂인 t의 제곱과 같아 양측 t검정과 F검정의 결론이 일치합니다.
왜 오른쪽 꼬리만 보나요?
집단 간 차이는 집단 간 분산을 키우기만 하므로 큰 F값만 증거가 됩니다.
출처: NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.6.6.5 F Distribution · Montgomery, D. C., Design and Analysis of Experiments (Wiley)