삼항식 인수분해 계산기 (ax² + bx + c, ac 방법 단계별)

이차 삼항식 인수분해 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리

이 계산기는 이차 삼항식 ax² + bx + c를 ac법(묶음법)으로 단계별로 인수분해합니다. 최대공약수를 묶어 내고, 곱이 ac이고 합이 b인 두 수를 찾고, 가운데 항을 나누어 묶습니다. 정수 범위에서 인수분해되는지 알려 주는 판별식도 보여 줍니다. 대수 숙제에 쓸 수 있습니다.

계산 방법

1. a, b, c의 최대공약수를 묶어 냅니다.
2. Ax² + Bx + C에서 m·n = A·C, m + n = B인 정수 m, n을 찾습니다.
3. 가운데 항을 나눕니다: Ax² + mx + nx + C
4. 두 항씩 묶어 공통 괄호를 꺼냅니다: (px + q)(rx + s)

• 이런 m, n은 판별식 B² − 4AC가 완전제곱수일 때만 존재하며, 아니면 정수 범위에서 인수분해되지 않습니다.

원리

(px + q)(rx + s)를 곱하면 prx² + (ps + qr)x + qs입니다. 가운데의 두 곱 ps와 qr은 서로 곱하면 pr·qs, 곧 A·C이고 더하면 B입니다. 그래서 곱이 AC, 합이 B인 두 수를 찾으면 가운데 항이 어떻게 만들어졌는지 되찾을 수 있고, 가운데 항을 나눠 묶으면 곱셈을 거꾸로 되돌리게 됩니다. 판별식 검사가 통하는 이유는 √(B² − 4AC)가 정수일 때만 근이 유리수가 되기 때문입니다.

예제 풀이

기본값: a = 6, b = 7, c = −20.

1. 최대공약수 = 1이라 식은 그대로 6x² + 7x − 20입니다.
2. a·c = 6 × (−20) = −120, 곱이 −120이고 합이 7인 두 수는 m = −8, n = 15입니다.
3. 가운데 항을 나누면 6x² − 8x + 15x − 20입니다.
4. 두 항씩 묶으면 2x(3x − 4) + 5(3x − 4)입니다.
5. 인수분해 결과는 (2x + 5)(3x − 4), 판별식은 7² − 4 × 6 × (−20) = 529 = 23²입니다.

결과 해석

다시 곱해 확인해 보십시오. (2x + 5)(3x − 4) = 6x² − 8x + 15x − 20 = 6x² + 7x − 20입니다. 인수에서 6x² + 7x − 20 = 0의 근 x = −5/2, x = 4/3도 바로 얻을 수 있습니다. 판별식이 완전제곱수가 아니면 근의 공식을 쓰십시오.

흔한 실수

• 먼저 공통인수를 묶어 내지 않는 경우
• 곱은 맞지만 합이 틀린 쌍을 고르는 경우
• 둘째 묶음을 인수분해할 때 부호를 잃는 경우
• 판별식을 확인하지 않고 인수분해가 안 된다고 단정하는 경우

자주 묻는 질문

ac법이란?

곱이 ac, 합이 b인 두 수를 찾아 가운데 항을 나누고 묶어서 인수분해하는 방법입니다.

인수분해가 되는지 어떻게 아나요?

정수 계수일 때 b² − 4ac가 완전제곱수이면 정수 범위에서 인수분해됩니다.

a가 음수면요?

최고차항 계수가 양수가 되도록 먼저 −1을 (최대공약수와 함께) 묶어 냅니다.

출처: OpenStax, Elementary Algebra 2e (2020), §7.3 Factor Trinomials of the Form ax² + bx + c