홍라이프 계산기FOIL 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 두 일차식 (ax + b)(cx + d)를 FOIL 방법(첫째, 바깥, 안쪽, 마지막)으로 곱합니다. 네 개의 곱, 합쳐진 가운데 항, 최종 삼항식, x = 1에서의 검산을 보여 줍니다. 두 일차식의 곱셈을 배우거나 확인할 때 쓸 수 있습니다. 중학교에서 배우는 다항식의 곱셈을 단계별로 익히는 데 알맞습니다.
계산 방법
F · 첫째(First): ax · cx = acx²
O · 바깥(Outer): ax · d = adx
I · 안쪽(Inner): b · cx = bcx
L · 마지막(Last): b · d = bd
결과: acx² + (ad + bc)x + bd
- 검산: 양쪽에 x = 1을 넣으면 (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd여야 합니다.
원리
FOIL은 분배법칙을 두 번 쓴 것입니다. 첫째 일차식의 각 항이 둘째 일차식의 각 항에 곱해져 곱이 네 개 생깁니다. 바깥 곱과 안쪽 곱은 모두 x를 포함한 동류항이라 가운데 항으로 합쳐집니다. FOIL이라는 말은 네 개의 곱을 하나도 빠뜨리지 않도록 돕는 기억법일 뿐이며, 상자법은 같은 네 개의 곱을 넓이로 보여 줍니다.
예제 풀이
기본값: (2x + 3)(x − 5), 즉 a = 2, b = 3, c = 1, d = −5.
- 첫째: 2x · x = 2x²입니다.
- 바깥: 2x · (−5) = −10x, 안쪽: 3 · x = 3x입니다.
- 마지막: 3 · (−5) = −15입니다.
- 가운데 항: −10x + 3x = −7x입니다.
- 곱은 2x² − 7x − 15이며, x = 1 검산: (2 + 3)(1 − 5) = −20, 2 − 7 − 15 = −20입니다.
결과 해석
최고차항 계수는 두 x 계수의 곱, 상수항은 두 상수의 곱, 가운데 계수는 ad + bc입니다. 이를 거꾸로 읽는 것이 삼항식의 인수분해입니다. x = 1 검산이 맞지 않으면 바깥 곱과 안쪽 곱의 부호부터 확인하십시오. 계산에 익숙해지면 첫째와 마지막 항은 바로 쓰고, 가운데 항만 바깥과 안쪽 곱의 합으로 암산할 수 있습니다.
흔한 실수
- 바깥 곱이나 안쪽 곱을 빼먹는 경우
- d의 음수 부호를 빠뜨리는 경우
- x²항과 x항을 합치는 경우
- 항이 더 많은 다항식에 FOIL만 쓰는 경우(모든 항끼리 곱해야 합니다)
- 곱한 뒤 동류항을 정리하지 않고 네 항을 그대로 두는 경우
자주 묻는 질문
FOIL은 무엇의 약자인가요?
First, Outer, Inner, Last로, 두 일차식을 곱할 때 생기는 네 곱입니다.
FOIL은 분배법칙과 같은가요?
네, 분배법칙을 두 번 적용한 것입니다.
FOIL 결과는 어떻게 검산하나요?
x = 1 같은 값을 곱하기 전 식과 전개한 식에 모두 넣어 비교합니다.
곱셈 공식과는 어떤 관계인가요?
(a + b)² = a² + 2ab + b² 같은 곱셈 공식도 FOIL로 전개한 결과를 정리한 것입니다.
출처: OpenStax, Elementary Algebra 2e (2020), §6.3 Multiply Polynomials