분수 약분 계산기

분수 약분 쉽게 이해하기 — 개념과 원리

약분은 분수의 크기는 그대로 두고 분자와 분모를 공약수로 나누어 더 간단한 분수로 만드는 일입니다. 분자와 분모의 공약수가 1뿐인 분수를 기약분수라고 하며, 약분을 끝까지 하면 기약분수가 됩니다. 숙제 검산을 할 때, 6/8인치 같은 치수를 3/4인치로 정리할 때, 여러 분수의 크기를 비교할 때 유용합니다.

계산 방법

• 최대공약수: 분자 a와 분모 b의 최대공약수 G를 구합니다.
• 기약분수: (a ÷ G) / (b ÷ G)입니다.
• 소수: a ÷ b입니다.
• 대분수: |a| ≥ |b|일 때만 표시합니다. 자연수 부분은 a ÷ b의 몫이고, 나머지를 분모 위에 두어 G로 약분합니다. 진분수이면 "—"로 표시됩니다.

원리

분자와 분모에 0이 아닌 같은 수를 곱하거나 나누어도 분수의 크기는 변하지 않습니다. G/G = 1로 나누는 것과 같기 때문입니다. 최대공약수로 나누면 공통인 약수가 한 번에 모두 없어지므로 결과는 반드시 기약분수가 됩니다. 2처럼 작은 공약수로 나누어도 크기가 같은 분수가 되지만, 여러 번 반복해야 할 수 있습니다. 최대공약수는 유클리드 호제법으로 구합니다. 큰 수를 작은 수로 나눈 나머지로 큰 수를 바꾸는 과정을 나머지가 0이 될 때까지 되풀이하면, 마지막에 나눈 수가 최대공약수입니다.

예제 풀이

1. 입력값: 분자 42, 분모 56입니다.
2. 호제법: 56 = 1 × 42 + 14, 42 = 3 × 14 + 0이므로 최대공약수는 14입니다.
3. 분자와 분모를 나누면 42 ÷ 14 = 3, 56 ÷ 14 = 4이므로 3/4입니다.
4. 소수로는 42 ÷ 56 = 0.75입니다.
5. 42가 56보다 작은 진분수이므로 대분수 칸은 —로 표시됩니다.

결과 해석

표시된 최대공약수가 1이면 처음부터 기약분수였다는 뜻입니다. 최대공약수가 크면 원래 두 수가 공통 약수를 많이 가지고 있었던 것입니다. 소수는 크기 비교에 편리하고, 기약분수는 값이 정확합니다. 예를 들어 1/3은 정확한 값이지만 0.333…은 어림값입니다.

흔한 실수

• 약수가 아니라 숫자를 지우는 경우입니다. 16/64에서 6을 지우면 우연히 1/4이 나오지만 올바른 방법이 아닙니다.
• 덧셈이 있는 식에서 약분하는 경우입니다. (2 + 3)/2는 3이 아닙니다.
• 2로 한 번 나누고 멈춰 더 큰 공약수가 남는 경우입니다.
• 분모가 0인 분수는 정의되지 않는다는 점을 놓칩니다.

자주 묻는 질문

음수 분수는 어떻게 약분하나요?

절댓값으로 약분한 뒤 부호를 하나만 남깁니다. 보통 분자에 붙여 −42/56을 −3/4로 씁니다.

답을 가분수로 써도 되나요?

중학교 이후 대수 계산에서는 7/4 같은 가분수를 그대로 쓰는 것이 일반적입니다. 생활 속 치수는 1 3/4처럼 대분수가 읽기 쉽습니다.

두 분수가 같은지 어떻게 확인하나요?

둘 다 기약분수로 만들어 비교하거나, a × d와 b × c가 같은지 확인하면 됩니다.

출처: Euclid, Elements, Book VII 명제 1–2(유클리드 호제법) · D. E. Knuth, The Art of Computer Programming, Vol. 2: Seminumerical Algorithms, 4.5.2절