기하분포 계산기 (첫 성공까지의 시행)

기하분포 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리

기하분포는 성공 확률이 p로 일정한 독립 시행을 반복할 때 "몇 번째 시행에서 처음 성공하는가"를 다룹니다. 영업 전화를 몇 통 걸어야 첫 계약이 나오는지, 부품이 검사를 통과할 때까지 몇 번 시도하는지, 주사위에서 6이 나올 때까지 몇 번 던지는지가 대표적인 예입니다. 계산기는 정확히 k번째에 첫 성공할 확률, k번째까지 성공할 확률, 기대 시행 횟수를 구합니다.

계산 방법

여기서 X는 첫 성공을 포함해 그때까지의 시행 횟수입니다(X = 1, 2, 3, …).

• P(X = k) = (1 − p)ᵏ⁻¹·p: k − 1번 실패한 뒤 한 번 성공할 확률
• P(X ≤ k) = 1 − (1 − p)ᵏ: 처음 k번 안에 적어도 한 번 성공할 확률
• 기대 시행 횟수 E[X] = 1/p, 분산은 (1 − p)/p²입니다.

원리

k번째에 처음 성공하려면 앞의 k − 1번은 모두 실패하고 k번째에 성공해야 합니다. 시행이 독립이므로 확률을 곱하면 (1 − p) × … × (1 − p) × p가 됩니다. 누적확률은 여사건으로 보면 쉽습니다. k번 모두 실패할 확률이 (1 − p)ᵏ이므로 k번 안에 성공할 확률은 1에서 이를 뺀 값입니다. 기하분포에는 무기억성이 있어, 몇 번을 실패했든 앞으로 필요한 시행 횟수의 분포는 처음과 똑같습니다. 실패가 쌓였다고 성공할 차례가 오는 것이 아닙니다.

예제 풀이

1. 기본 입력: p = 0.2, k = 3
2. P(X = 3) = 0.8² × 0.2 = 0.64 × 0.2 = 0.128
3. P(X ≤ 3) = 1 − 0.8³ = 1 − 0.512 = 0.488
4. 기대 시행 횟수 = 1 ÷ 0.2 = 5

즉 한 번에 20%의 확률이라면 정확히 세 번째에 처음 성공할 확률은 12.8%, 세 번 안에 성공할 확률은 48.8%이며 평균 5번이 걸립니다.

결과 해석

가장 가능성이 높은 값은 항상 k = 1이고, 확률은 한 단계마다 1 − p배씩 줄어듭니다. 원하는 확률로 성공하려면 1 − (1 − p)ᵏ ≥ 목표를 k에 대해 풀면 됩니다. p = 0.2일 때 90%가 되려면 11번(1 − 0.8¹¹ ≈ 0.914), 95%가 되려면 14번이 필요합니다. 표준편차는 √(1 − p)/p ≈ 4.47번으로 편차가 큰 편입니다.

흔한 실수

• 다른 정의와 혼동하는 경우. 첫 성공 전 실패 횟수 Y = X − 1로 정의하면 평균은 1/p가 아니라 (1 − p)/p입니다.
• 실패가 많이 쌓이면 성공 확률이 높아진다고 믿는 도박사의 오류
• 비복원 추출이나 천장 제도처럼 시도마다 확률이 바뀌는 상황에 적용하는 경우

자주 묻는 질문

k번보다 더 많이 시도해야 할 확률은?

P(X > k) = (1 − p)ᵏ이며, 예제에서는 0.8³ = 0.512입니다.

이항분포와는 어떻게 다른가요?

이항분포는 정해진 횟수 안의 성공 수를, 기하분포는 첫 성공까지의 시행 횟수를 셉니다.

연속형으로는 어떤 분포에 해당하나요?

지수분포입니다. 역시 무기억성을 가지며 연속적인 대기 시간을 나타냅니다.

출처: Sheldon M. Ross, A First Course in Probability, Pearson · William Feller, An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1, Wiley