홍라이프 계산기기하평균·조화평균 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
평균에는 산술평균만 있는 것이 아닙니다. 성장률이나 비율에는 기하평균, 같은 거리를 다른 속력으로 이동할 때의 평균 속력에는 조화평균, 오차나 교류 전압처럼 제곱으로 작용하는 양에는 제곱평균제곱근(RMS)이 알맞습니다. 이 계산기는 양수 목록에 대해 네 가지 평균을 한꺼번에 구합니다.
계산 방법
양수 x₁, …, xₙ에 대해 다음과 같이 계산합니다.
- 기하평균 GM = (x₁ × x₂ × … × xₙ)^(1/n). 실제로는 exp(ln xᵢ의 평균)으로 계산해 값이 많아도 넘침 없이 같은 결과를 얻습니다.
- 조화평균 HM = n ÷ (1/x₁ + 1/x₂ + … + 1/xₙ)
- 산술평균 AM = (x₁ + … + xₙ) ÷ n
- 제곱평균제곱근 RMS = √((x₁² + … + xₙ²) ÷ n)
모든 값은 0보다 커야 합니다.
원리
각 평균은 "같은 값을 n번 썼을 때 전체 효과가 같아지는 값은 무엇인가"에 대한 답입니다. 효과가 합이면 산술평균, 곱(여러 기간의 성장)이면 기하평균, 역수의 합(시간 = 거리 ÷ 속력)이면 조화평균, 제곱의 합(에너지, 분산)이면 RMS가 답입니다. 양수에 대해서는 항상 HM ≤ GM ≤ AM ≤ RMS가 성립하고, 모든 값이 같을 때만 등호가 성립합니다. 값이 넓게 퍼질수록 네 평균의 차이도 커집니다.
예제 풀이
- 입력값: 2, 8, 32 (3개)
- 기하평균: 2 × 8 × 32 = 512이고 ∛512 = 8입니다.
- 조화평균: 1/2 + 1/8 + 1/32 = 0.65625이므로 3 ÷ 0.65625 ≈ 4.571428571입니다.
- 산술평균: (2 + 8 + 32) ÷ 3 = 14입니다.
- RMS: (4 + 64 + 1,024) ÷ 3 = 364이고 √364 ≈ 19.07878403입니다.
- 확인: 4.571 ≤ 8 ≤ 14 ≤ 19.079로 부등식과 일치합니다.
결과 해석
2, 8, 32는 4배씩 커지는 등비수열이므로 기하평균이 가운데 항 8과 같고, 산술평균 14는 큰 값 32에 끌려 올라갑니다. 조화평균과 RMS의 차이가 크면 값이 넓게 흩어져 있다는 뜻입니다. 가장 보기 좋은 숫자가 아니라 양이 실제로 결합하는 방식에 맞는 평균을 고르셔야 합니다.
흔한 실수
- 성장률을 산술평균하는 경우: +50% 뒤 −50%는 본전이 아닙니다. 배율 1.5와 0.5의 기하평균은 약 0.866입니다.
- 같은 거리를 왕복한 평균 속력을 산술평균으로 구하는 경우
- 0이나 음수를 넣는 경우
- 기하평균에 5%를 5로 넣는 경우(1.05처럼 배율로 넣어야 합니다)
자주 묻는 질문
갈 때 시속 60km, 올 때 시속 40km면 평균 속력은 얼마인가요?
거리가 같으므로 조화평균 2 ÷ (1/60 + 1/40) = 48km/h입니다. 50km/h가 아닙니다.
투자 수익률에 기하평균을 쓰는 이유는 무엇인가요?
수익은 곱셈으로 쌓이기 때문입니다. 배율의 기하평균에서 1을 빼면 같은 최종 금액을 만드는 연평균 수익률이 됩니다.
RMS는 어디에 쓰이나요?
교류 전압의 실효값, 물리학, 그리고 오차의 전형적인 크기를 나타내는 통계 지표 등에 쓰입니다.
출처: G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. Pólya, Inequalities, Cambridge University Press · P. S. Bullen, Handbook of Means and Their Inequalities, Kluwer Academic Publishers