홍라이프 계산기이차부등식 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 이차부등식 ax² + bx + c > 0(또는 <, ≥, ≤)을 풀고 그래프를 설명합니다. 해를 구간과 부등식으로 나타내고, 근, 판별식, 꼭짓점, 포물선이 열리는 방향, 그리고 두 변수 부등식에서 경계선과 색칠할 영역을 알려 줍니다. 대수 숙제와 그래프 연습에 쓸 수 있습니다.
계산 방법
- ax² + bx + c = 0을 풀면 근이 수직선을 구간으로 나눕니다.
- 각 구간에서 ax² + bx + c의 부호는 일정하므로 구간마다 시험점 하나를 확인합니다.
- b² − 4ac > 0일 때 a > 0이면 두 근 바깥에서 양수, 사이에서 음수이고, a < 0이면 반대입니다.
- ≥나 ≤이면 근을 포함(대괄호), >나 <이면 제외합니다.
- b² − 4ac < 0이면 포물선이 x축과 만나지 않아 부등식이 모든 x에서 성립하거나 전혀 성립하지 않습니다.
- y > ax² + bx + c는 포물선을 점선으로 그리고 위쪽을 칠하며, ≥나 ≤이면 실선으로 그립니다.
원리
이차식은 값이 0이 되는 곳, 곧 근에서만 부호가 바뀔 수 있습니다. 근 사이와 바깥에서는 부호가 정해져 있으므로, 부등식을 푼다는 것은 포물선이 x축보다 위에 있는 곳과 아래에 있는 곳을 찾는 것입니다. 위로 열린 포물선은 두 근 사이에서만 x축 아래에 있으므로 3단계의 규칙이 나옵니다.
예제 풀이
기본값: x² − 2x − 8 > 0.
- 판별식 = (−2)² − 4 × 1 × (−8) = 36, 근은 x = −2, x = 4입니다.
- 꼭짓점은 x = 1에서 y = 1 − 2 − 8 = −9이므로 (1, −9)이고, 포물선은 위로 열립니다.
- 위로 열린 포물선은 두 근 바깥에서 양수이므로 x < −2, x > 4입니다.
- 구간으로는 (−∞, −2) ∪ (4, ∞)이며, 근은 포함하지 않습니다.
- y > x² − 2x − 8의 그래프는 점선 포물선이고, 포물선 위쪽을 칠합니다.
결과 해석
시험점으로 확인해 보십시오. x = 0이면 −8로 0보다 크지 않으므로 0이 해에서 빠진 것이 맞고, x = 5면 7 > 0이라 해에 포함됩니다. 이 예에서 꼭짓점은 −9로 가장 낮은 점이며, 그래서 가운데 구간이 음수입니다.
흔한 실수
- a < 0일 때 판단을 뒤집지 않는 경우
- 등호가 없는 부등식에서 근을 포함하는 경우
- 두 구간의 합집합을 하나의 구간으로 쓰는 경우
- 판별식이 음수일 때 a의 부호를 확인하지 않고 '해 없음'이라고 하는 경우
주의: 소수 근은 반올림한 값입니다. 정확한 구간 끝점이 필요하면 1 ± √3처럼 근호 꼴로 두십시오.
자주 묻는 질문
이차부등식은 어떻게 푸나요?
근을 구한 뒤, 어느 구간에서 포물선이 x축 위나 아래에 있는지 판단합니다.
해가 모든 실수인 경우는?
포물선이 x축과 만나지 않고 전체가 원하는 쪽에 있을 때입니다.
경계선은 점선인가요, 실선인가요?
<나 >는 점선, ≤나 ≥는 실선입니다.
출처: OpenStax, College Algebra 2e (2021), §2.7 Linear Inequalities and Absolute Value Inequalities, and §5.1 Quadratic Functions