홍라이프 계산기쌍곡선 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
쌍곡선은 서로 떨어진 두 갈래로 이루어진 곡선으로, 두 정점(초점)까지의 거리의 차가 일정한 점들의 모임입니다. 이 계산기는 원점이 중심이고 x축 방향으로 열린 표준형 쌍곡선 x²/a² − y²/b² = 1을 다루며, 초점, 이심률, 점근선, 통경의 길이를 구합니다. 쌍곡선은 이차곡선 단원뿐 아니라 행성이나 별 곁을 붙잡히지 않고 지나가는 천체의 궤도, 전파 항법, 냉각탑의 모양에서도 볼 수 있습니다.
계산 방법
- 초점 거리: c = √(a² + b²)이며 초점은 (±c, 0)입니다.
- 이심률: e = c ÷ a로 항상 1보다 큽니다.
- 점근선: y = ±(b ÷ a)x입니다.
- 통경: 2b² ÷ a로, 초점을 지나고 주축에 수직인 현의 길이입니다.
곡선이 꺾여 돌아가는 꼭짓점은 (±a, 0)입니다.
원리
쌍곡선 위의 어느 점이든 두 초점까지의 거리의 차는 2a입니다. 초점을 (±c, 0)에 두고 이 조건을 식으로 정리하면 x²/a² − y²/(c² − a²) = 1이 되므로 b² = c² − a², 곧 c² = a² + b²입니다. c² = a² − b²인 타원과 달리 초점이 꼭짓점보다 바깥에 있습니다. x가 매우 커지면 우변의 1은 x²/a², y²/b²에 비해 무시할 만큼 작아져 곡선이 직선 y = ±(b/a)x에 가까워집니다. 이것이 곡선이 한없이 다가가지만 만나지 않는 점근선입니다. 이심률은 두 갈래가 얼마나 벌어져 있는지를 나타내며, 1에 가까울수록 좁고 클수록 넓게 벌어집니다.
예제 풀이
- 입력값: a = 3, b = 4입니다.
- c = √(9 + 16) = 5이므로 초점은 (±5, 0)입니다.
- 이심률: 5 ÷ 3 ≈ 1.666666667입니다.
- 점근선: b ÷ a = 4 ÷ 3이므로 y = ±1.333333333x입니다.
- 통경: 2 × 16 ÷ 3 = 32 ÷ 3 ≈ 10.66666667입니다.
결과 해석
꼭짓점 (±3, 0)은 곡선이 중심에 가장 가까운 점이고, 초점 (±5, 0)은 그보다 바깥에 있습니다. 점근선의 기울기 4/3은 곡선이 얼마나 가파르게 벌어지는지를 보여 줍니다. a = b이면 점근선이 45°로 서로 수직이 되어 직각쌍곡선이라 하며 이심률은 √2 ≈ 1.414입니다. 이차곡선의 이심률은 원이 0, 타원이 0과 1 사이, 포물선이 정확히 1, 쌍곡선이 1보다 큰 값입니다.
흔한 실수
- 타원의 관계식 c² = a² − b²을 쓰는 경우입니다. 쌍곡선은 c² = a² + b²입니다.
- a와 b를 바꾸어 넣는 경우입니다. 이 꼴에서는 크기와 관계없이 양수인 x²항의 분모가 a²입니다.
- y²/a² − x²/b² = 1에 그대로 적용하는 경우입니다. 이 쌍곡선은 위아래로 열리며 초점은 (0, ±c), 점근선은 y = ±(a/b)x입니다.
자주 묻는 질문
예제 쌍곡선의 꼭짓점은 어디인가요?
(±3, 0)입니다. 중심에서 a만큼 떨어져 있으며 중심과 초점 사이에 있습니다.
쌍곡선 위의 점에서 두 초점까지 거리의 차는 얼마인가요?
항상 2a로 예제에서는 6입니다. 꼭짓점 (3, 0)에서는 8 − 2 = 6입니다.
타원에서도 통경 공식이 같나요?
식 2b²/a는 같지만 b의 정의가 곡선마다 다릅니다.
출처: Apollonius of Perga, Conics, Books I–III · J. Stewart, L. Redlin and S. Watson, Precalculus: Mathematics for Calculus, Cengage, chapter on conic sections