쌍곡선함수 계산기 (sinh, cosh, tanh와 역함수)

쌍곡선함수 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리

쌍곡선함수는 지수함수 eˣ와 e⁻ˣ를 조합한 함수로, 원 대신 쌍곡선에 대해 삼각함수와 비슷하게 행동합니다. 이 계산기는 x에 대한 sinh, cosh, tanh와 그 역함수 asinh, acosh, atanh를 구해 줍니다. 늘어뜨린 줄의 모양(현수선), 특수상대성이론, 송전선 방정식, 미분방정식, 신경망의 tanh 활성화 함수 등에 등장합니다.

계산 방법

• sinh x = (eˣ − e⁻ˣ) ÷ 2, cosh x = (eˣ + e⁻ˣ) ÷ 2, tanh x = sinh x ÷ cosh x입니다.
• asinh x = ln(x + √(x² + 1))이며 모든 실수에서 정의됩니다.
• acosh x = ln(x + √(x² − 1))이며 x ≥ 1에서 정의됩니다(0 이상인 값).
• atanh x = ½ ln((1 + x) ÷ (1 − x))이며 −1 < x < 1에서 정의됩니다.

x는 각도가 아니라 단위 없는 실수입니다.

원리

원 x² + y² = 1 위의 점이 (cos t, sin t)인 것처럼, 쌍곡선 x² − y² = 1 위의 점은 (cosh t, sinh t)로 나타낼 수 있습니다. 그래서 sin² + cos² = 1에 대응하는 cosh²x − sinh²x = 1이 성립합니다. 라디안이 반지름 1인 부채꼴 넓이의 2배이듯, t는 쌍곡선 부채꼴 넓이의 2배입니다. 역함수는 y = sinh x를 x에 대해 풀어 얻습니다. u = eˣ로 두면 u² − 2yu − 1 = 0이라는 이차방정식이 되고, 양의 근을 택하면 로그 형태가 나옵니다.

예제 풀이

1. 기본 입력값은 x = 1이며, e ≈ 2.718281828, e⁻¹ ≈ 0.367879441입니다.
2. sinh 1 = (2.718281828 − 0.367879441) ÷ 2 = 1.175201194입니다.
3. cosh 1 = (2.718281828 + 0.367879441) ÷ 2 = 1.543080635입니다.
4. tanh 1 = 1.175201194 ÷ 1.543080635 = 0.761594156입니다.
5. asinh 1 = ln(1 + √2) = ln 2.414213562 = 0.881373587입니다.
6. acosh 1 = ln(1 + 0) = 0이고, atanh 1 = ½ ln(2 ÷ 0)은 무한대이므로 —로 표시됩니다.

결과 해석

cosh x는 항상 1 이상이고 우함수(x와 −x에서 값이 같음)이며, sinh와 tanh는 기함수입니다. tanh는 언제나 −1과 1 사이이고 ±1에 빠르게 가까워집니다(tanh 3 ≈ 0.995). x가 크면 sinh x와 cosh x는 모두 eˣ ÷ 2에 가까워지고, x가 작으면 sinh x ≈ x, tanh x ≈ x입니다.

흔한 실수

• x를 도 단위 각도로 생각하는 경우입니다. 쌍곡선함수의 입력은 실수입니다.
• acosh에 1보다 작은 값, atanh에 절댓값 1 이상인 값을 넣는 경우입니다. 실수 결과가 없습니다.
• 사인·코사인처럼 주기가 있으리라 기대하는 경우입니다. 실수 범위에서는 주기함수가 아닙니다.

자주 묻는 질문

왜 ‘쌍곡선’함수라고 부르나요?

점 (cosh t, sinh t)가 단위쌍곡선 x² − y² = 1 위에 있기 때문입니다.

삼각함수와는 어떤 관계가 있나요?

복소수를 통해 연결됩니다. cosh x = cos(ix), sinh x = −i sin(ix)입니다.

늘어뜨린 쇠사슬은 어떤 곡선이 되나요?

현수선 y = a cosh(x ÷ a)가 됩니다. a는 수평 장력과 단위 길이당 무게로 정해집니다.

출처: NIST Digital Library of Mathematical Functions, Chapter 4, §4.28 and §4.37 (hyperbolic functions and their inverses) · Abramowitz and Stegun, Handbook of Mathematical Functions, §4.5 and §4.6