홍라이프 계산기초기하분포 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
초기하분포는 성공 K개가 들어 있는 N개의 모집단에서 n개를 비복원으로 뽑을 때 성공이 정확히 k개 나올 확률을 나타냅니다. 카드 게임(포커 패 속 에이스 수), 로또(맞힌 번호 수), 한 로트에서 표본을 뽑는 품질 검사(표본 속 불량품 수)처럼 한 번 뽑은 것을 다시 넣지 않는 상황에 맞는 모형입니다. 계산기는 P(X = k)와 성공을 적어도 하나 뽑을 확률을 구합니다.
계산 방법
- P(X = k) = C(K, k)·C(N − K, n − k) ÷ C(N, n)
- P(X ≥ 1) = 1 − C(N − K, n) ÷ C(N, n)
C(a, b) = a! ÷ (b!(a − b)!)은 a개에서 b개를 고르는 조합의 수입니다. k는 max(0, n − (N − K)) 이상, min(n, K) 이하여야 하며, 평균은 n·K/N입니다.
원리
n개를 고르는 모든 조합은 같은 확률로 나오며 그 수는 C(N, n)입니다. 원하는 조합은 성공 K개 중 k개를 C(K, k)가지로 고르고, 나머지 n − k개를 실패 N − K개 중에서 C(N − K, n − k)가지로 채운 것입니다. 원하는 경우의 수를 전체 경우의 수로 나누면 확률이 됩니다. 이항분포와 달리 하나를 뽑을 때마다 모집단이 줄어 성공 확률이 바뀝니다. N이 n보다 훨씬 크면 두 분포는 거의 같아집니다.
예제 풀이
- 기본 입력: 카드 52장(N = 52), 에이스 4장(K = 4), 5장 뽑기(n = 5), 에이스 정확히 1장(k = 1)
- C(4, 1) = 4, C(48, 4) = 194,580이므로 원하는 경우는 778,320가지입니다.
- 전체 경우: C(52, 5) = 2,598,960
- P(X = 1) = 778,320 ÷ 2,598,960 ≈ 0.2994736356
- 에이스가 없는 경우는 C(48, 5) = 1,712,304이므로 P(X ≥ 1) = 1 − 1,712,304 ÷ 2,598,960 ≈ 0.3411580017
| 모집단의 성공 개수 K | P(X = k) |
|---|---|
| 1 | 0.0961538462 |
| 2 | 0.177224736 |
| 3 | 0.2445701357 |
| 4 | 0.2994736356 |
| 5 | 0.3431468741 |
| 6 | 0.3767314618 |
| 8 | 0.4178625296 |
결과 해석
다섯 장 중 에이스가 정확히 1장일 확률은 약 30%, 1장 이상일 확률은 약 34%이며 평균은 5 × 4/52 ≈ 0.385장입니다. 6/45 로또(N = 45, K = 6, n = 6)에서 여섯 개를 모두 맞힐 확률은 1 ÷ C(45, 6) = 8,145,060분의 1이고, 정확히 세 개를 맞힐 확률은 약 2.24%입니다.
흔한 실수
- 모집단이 작은데 이항분포를 쓰는 경우. 비복원 추출은 확률을 바꿉니다.
- K와 n을 바꿔 넣는 경우. K는 모집단 속 성공의 수, n은 뽑는 개수입니다.
- k가 2 이상일 때 "적어도 k개"를 정확히 k개의 확률로 대신하는 경우
자주 묻는 질문
다섯 장 중 에이스가 정확히 2장일 확률은?
C(4, 2)·C(48, 3) ÷ C(52, 5) = 6 × 17,296 ÷ 2,598,960 ≈ 0.0399입니다.
언제 이항분포로 근사할 수 있나요?
표본이 모집단의 작은 부분일 때(흔히 n이 N의 5% 이하) p = K/N으로 근사합니다.
뽑는 순서가 결과에 영향을 주나요?
주지 않습니다. 순서를 따지지 않는 조합으로 세기 때문입니다.
출처: Sheldon M. Ross, A First Course in Probability, Pearson · William Feller, An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1, Wiley — hypergeometric distribution