홍라이프 계산기일차부등식 풀이 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
ax + b < c와 같은 일차부등식은 값 하나가 아니라 부등식을 참으로 만드는 x의 범위 전체를 구하는 문제입니다. 답은 x > −3처럼 수직선 위의 반직선 모양이 됩니다. 예산 안에서 살 수 있는 최대 개수, 합격에 필요한 최소 점수, 재료가 견디는 온도 범위, 이익이 나기 시작하는 판매량처럼 한계와 기준을 나타낼 때 부등식을 씁니다.
계산 방법
ax + b ? c(?는 <, ≤, >, ≥ 중 하나)는 다음 순서로 풉니다.
- 양변에서 b를 빼면 ax ? c − b입니다.
- 양변을 a로 나누면 x ? (c − b) ÷ a입니다.
- a가 음수이면 부등호의 방향을 바꿉니다. <는 >로, ≤는 ≥로 바뀌고 그 반대도 마찬가지입니다.
a = 0이면 x가 없는 b ? c가 됩니다. 이 식이 참이면(예: 4 < 10) 모든 실수가 해이고(all real x), 거짓이면 해가 없습니다(no solution).
원리
부등식의 양변에 같은 수를 더하거나 빼도, 양수를 곱하거나 나누어도 부등호 방향은 그대로입니다. 그러나 음수를 곱하거나 나누면 수직선의 순서가 뒤집힙니다. 2 < 5이지만 −2 > −5인 것과 같습니다. 그래서 a < 0일 때는 부등호 방향을 바꾸어야 합니다. 그래프로 보면 직선 y = ax + b가 수평선 y = c보다 아래(또는 위)에 있는 x의 범위가 해이고, 경계점 x = (c − b)/a는 두 직선이 만나는 점입니다.
예제 풀이
- 입력값: a = −2, b = 4, 부등호 <, c = 10, 즉 −2x + 4 < 10입니다.
- 양변에서 4를 빼면 −2x < 6입니다.
- 양변을 −2로 나눕니다. 음수로 나누므로 <가 >로 바뀌어 x > 6 ÷ (−2)입니다.
- 결과: x > −3입니다.
- 확인: x = 0을 넣으면 4 < 10으로 참이고, x = −5를 넣으면 14 < 10으로 거짓이므로 해가 맞습니다.
| a | 해 |
|---|---|
| -0.5 | x > -12 |
| -1 | x > -6 |
| -1.5 | x > -4 |
| -2 | x > -3 |
| -2.5 | x > -2.4 |
| -3 | x > -2 |
| -4 | x > -1.5 |
결과 해석
x > −3은 −3보다 큰 모든 수이며 −3 자신은 포함하지 않습니다. 수직선에서는 −3에 빈 동그라미를 그리고 오른쪽으로 화살표를 긋습니다. ≤, ≥는 경계값을 포함하므로 색칠한 동그라미를 씁니다. 구간으로 쓰면 x > −3은 (−3, ∞), x ≥ −3은 [−3, ∞)입니다. 문장제에서는 경계값이 허용되는지, 자연수만 의미가 있는지도 함께 따져야 합니다.
흔한 실수
- 음수로 나누거나 곱할 때 부등호 방향을 바꾸지 않는 경우
- 음수를 더하거나 뺄 때도 방향을 바꾸는 경우(방향이 바뀌는 것은 음수를 곱하거나 나눌 때뿐입니다)
- <, >인데 경계값을 해에 포함하는 경우
자주 묻는 질문
음수로 나누면 왜 부등호 방향이 바뀌나요?
음수를 곱하면 수직선이 0을 기준으로 뒤집혀 큰 수가 작은 수가 되기 때문입니다. 식이 참으로 남으려면 부등호 방향도 바뀌어야 합니다.
3 < 2x + 1 ≤ 9는 어떻게 푸나요?
2x + 1 > 3과 2x + 1 ≤ 9 두 부등식으로 나누어 풀고 공통 범위를 구하면 1 < x ≤ 4입니다.
'모든 실수(all real x)'는 무슨 뜻인가요?
0x + 4 < 10처럼 x에 어떤 수를 넣어도 참인 경우입니다.
출처: 교육부, 수학과 교육과정(중학교 2학년 '일차부등식') · I. M. Gelfand, A. Shen, Algebra, Birkhäuser