구간 표기 계산기 (구간 ↔ 부등식 ↔ 조건제시법)

구간 표기 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리

이 계산기는 구간 표기, 부등식, 조건제시법을 서로 바꿉니다. 양 끝값과 각 끝을 포함하는지를 넣으면 세 가지 꼴과 구간의 종류, 길이와 중점, 여집합, 구간 안의 가장 작은 정수를 알려 줍니다. 부등식과 정의역에 관한 대수와 미적분 입문 숙제에 쓸 수 있습니다.

계산 방법

• 대괄호 [ 또는 ]는 끝을 포함(≤ 또는 ≥), 소괄호 ( 또는 )는 제외(< 또는 >)합니다.
• −∞와 ∞는 수가 아니므로 항상 소괄호를 씁니다. x ≥ 2는 [2, ∞)입니다.
• 조건제시법은 조건을 그대로 적습니다: {x | −3 ≤ x < 5}
• 양 끝을 모두 포함하면 닫힌구간, 모두 제외하면 열린구간, 한쪽만 포함하면 반열린구간입니다.
• 양 끝이 유한하면 길이 = b − a, 중점 = (a + b) ÷ 2이며, 여집합은 나머지 모든 실수입니다.

원리

구간은 수직선 위에서 끊어지지 않고 이어진 한 부분입니다. 빈틈이 없으므로 두 끝값과 각 끝이 포함되는지만 알면 완전히 정해집니다. 세 가지 표기는 같은 내용을 쓰임새에 맞게 나타냅니다. 부등식은 풀이 과정에서 자연스럽고, 구간 표기는 답과 정의역을 간결하게 적기 좋으며, 조건제시법은 가장 일반적이어서 구간이 아닌 집합에도 쓸 수 있습니다.

예제 풀이

기본값: 아래 끝 −3 포함, 위 끝 5 제외.

1. 구간 표기는 [−3, 5)입니다.
2. 부등식은 −3 ≤ x < 5, 조건제시법은 {x | −3 ≤ x < 5}입니다.
3. 종류는 유계인 반열린구간입니다.
4. 길이 = 5 − (−3) = 8, 중점 = (−3 + 5) ÷ 2 = 1입니다.
5. 여집합은 (−∞, −3) ∪ [5, ∞), 구간 안의 가장 작은 정수는 −3입니다.

결과 해석

여집합에서는 괄호 종류가 뒤바뀝니다. −3은 구간에 포함되므로 여집합은 그 바로 앞에서 소괄호로 끝나고, 5는 구간에 없으므로 여집합은 5부터 대괄호로 시작합니다. [−3, 5) 안의 정수는 −3부터 4까지 8개입니다. 수직선에 그릴 때는 포함하는 끝을 색칠한 점(●), 제외하는 끝을 빈 점(○)으로 표시하면 구간 표기와 정확히 대응합니다.

흔한 실수

• ∞ 옆에 대괄호를 쓰는 경우
• (5, −3]처럼 큰 수를 먼저 쓰는 경우
• ≤와 <를 읽을 때 열린 끝과 닫힌 끝을 바꾸는 경우
• 답이 두 부분인데 합집합 기호를 빼먹는 경우

자주 묻는 질문

[−3, 5)는 무슨 뜻인가요?

−3을 포함해 5는 포함하지 않는 그 사이의 모든 실수입니다.

무한대에는 왜 항상 소괄호를 쓰나요?

무한대는 도달하거나 포함할 수 있는 수가 아니기 때문입니다.

x > 2를 구간으로 쓰면?

(2, ∞)입니다.

모든 실수는 어떻게 쓰나요?

(−∞, ∞)로 씁니다. 양 끝이 모두 무한대라 소괄호를 씁니다.

한 점만 있는 집합도 구간인가요?

[3, 3]처럼 쓸 수는 있지만 보통 {3}으로 적습니다.

출처: OpenStax, College Algebra 2e (2021), §2.7 Linear Inequalities and Absolute Value Inequalities