역정규분포 계산기 (백분위 → 값)

역정규분포 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리

역정규분포 계산기는 확률에서 거꾸로 값을 찾습니다. 백분위(왼쪽 넓이, %)와 평균, 표준편차를 넣으면 그 넓이를 잘라 내는 값 x를 알려 줍니다. '상위 10%에 들려면 몇 점이어야 하는가'와 같은 기준 점수, 허용 한계, 그리고 신뢰구간과 가설검정에 쓰는 임계 z값을 구할 때 사용합니다.

계산 방법

• z = Φ⁻¹(p)이며 p = 백분위 ÷ 100입니다. Φ⁻¹는 표준정규분포 누적분포함수의 역함수로, 분위수 함수 또는 프로빗 함수라고도 합니다.
• x = μ + σ · z로, 표준값을 입력한 분포의 척도로 되돌립니다.
• 양측 z = Φ⁻¹(1 − (1 − p) ÷ 2)입니다. 입력한 비율을 신뢰수준으로 보고 나머지 1 − p를 양쪽 꼬리에 절반씩 나눕니다.

백분위는 0과 100 사이의 값이어야 하며, 0이나 100이면 답이 무한대가 됩니다. σ는 0보다 커야 합니다.

원리

Φ(z)는 0에서 1까지 끊김 없이 증가하므로, 0과 1 사이의 확률마다 대응하는 z가 정확히 하나 있습니다. Φ⁻¹는 닫힌 식이 없어 수치적으로 구하며, 이 계산기는 Acklam의 알고리즘을 씁니다. 중앙 구간과 꼬리 구간에 각각 유리함수 근사식을 적용한 뒤 보정 단계를 한 번 더 거쳐 정밀도를 높입니다. 정규분포는 모두 모양이 같으므로 표준 분위수 z 하나를 x = μ + σz로 어느 분포에나 옮길 수 있습니다.

예제 풀이

1. 입력값: 백분위 95%, 평균 0, 표준편차 1(표준정규분포)입니다.
2. p = 0.95이므로 z = Φ⁻¹(0.95) ≈ 1.6449입니다.
3. x = 0 + 1 × 1.6449 ≈ 1.6449입니다.
4. 신뢰수준으로 보면 꼬리마다 (1 − 0.95) ÷ 2 = 0.025가 남으므로 양측 z = Φ⁻¹(0.975) ≈ 1.9600입니다.

결과 해석

자주 쓰는 값은 Φ⁻¹(0.90) ≈ 1.2816, Φ⁻¹(0.95) ≈ 1.6449, Φ⁻¹(0.975) ≈ 1.9600, Φ⁻¹(0.99) ≈ 2.3263, Φ⁻¹(0.995) ≈ 2.5758입니다. 백분위가 50%보다 작으면 z는 음수이고 x는 평균보다 작습니다. 평균 100, 표준편차 15라면 95백분위는 100 + 15 × 1.6449 ≈ 124.7입니다.

흔한 실수

• 양측 95% 신뢰구간에 단측값 1.645를 쓰는 경우(1.960이 맞습니다)
• 백분율 칸에 95 대신 0.95를 넣는 경우
• 모표준편차를 모르는 소표본에서 t분포 대신 정규분포 분위수를 쓰는 경우

자주 묻는 질문

95%를 넣으면 1.645인데 왜 95% 신뢰구간에는 1.96을 쓰나요?

1.645는 한쪽 꼬리에 5%를 남기는 값입니다. 양측 95% 구간은 양쪽에 2.5%씩 남기므로 Φ⁻¹(0.975) = 1.96이 필요합니다.

50백분위의 z는 얼마인가요?

정확히 0이며 x는 평균과 같습니다.

상위 10%의 경계값은 어떻게 구하나요?

상위 10%는 90백분위에서 시작하므로 90을 입력하면 됩니다.

출처: Acklam, P. J., An algorithm for computing the inverse normal cumulative distribution function (2003) · NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.6.7.1 Cumulative Distribution Function of the Standard Normal Distribution