역삼각함수 계산기 (arcsin, arccos, arctan)

역삼각함수 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리

역삼각함수는 반대 방향의 질문에 답합니다. 사인·코사인·탄젠트 값이 주어졌을 때 어떤 각에서 나온 값인지 찾는 것입니다. 이 계산기는 입력한 수의 arcsin, arccos, arctan을 도(°)로, arcsin과 arctan은 라디안으로도 구해 줍니다. 직각삼각형의 두 변으로 각을 구하거나, 기울기에서 경사각을 구하거나, 내적으로 두 벡터의 사잇각을 구할 때, 그리고 굴절이나 빗면 같은 물리 문제에서 쓰입니다.

계산 방법

• arcsin x: 사인 값이 x인 [−90°, 90°] 범위의 각입니다. −1 ≤ x ≤ 1이어야 합니다.
• arccos x: 코사인 값이 x인 [0°, 180°] 범위의 각입니다. −1 ≤ x ≤ 1이어야 합니다.
• arctan x: 탄젠트 값이 x인 (−90°, 90°) 범위의 각입니다. 모든 실수 x가 가능합니다.
• 도 = 라디안 × 180 ÷ π입니다.

원리

삼각함수는 주기함수라서 여러 각이 같은 값을 가집니다(sin 30° = sin 150° = 0.5). 그래서 역함수를 만들려면 함수가 일대일이면서 모든 값을 한 번씩 갖는 구간으로 정의역을 제한해야 합니다. 이 구간을 주치(주값)라고 하며, 위에 적은 범위가 바로 그것입니다. 이 구간에서 sin과 tan은 증가하고 cos은 감소하므로 각 값에 각이 하나씩만 대응합니다. 그 결과 −1 ≤ x ≤ 1인 모든 x에 대해 arcsin x + arccos x = 90°가 성립합니다.

예제 풀이

1. 기본 입력값은 x = 0.5입니다.
2. arcsin 0.5는 [−90°, 90°]에서 사인이 0.5인 각이므로 30°이고, 라디안으로 π/6 = 0.5235987756입니다.
3. arccos 0.5는 [0°, 180°]에서 코사인이 0.5인 각이므로 60°입니다. 30° + 60° = 90°로 맞습니다.
4. arctan 0.5 = 0.463647609 rad이고, 180/π를 곱하면 26.56505118°입니다.

결과 해석

계산기는 주치 하나만 보여 줍니다. sin θ = 0.5의 일반해는 θ = 30° + 360°k와 150° + 360°k, cos θ = 0.5는 θ = ±60° + 360°k, tan θ = 0.5는 θ = 26.565° + 180°k입니다. 삼각형 문제에서는 둔각이 가능한지 등 상황을 보고 답을 고르십시오. 기울기(높이 ÷ 수평거리)의 arctan은 경사각이므로 0.5는 약 26.6°의 경사입니다.

흔한 실수

• arcsin, arccos에 [−1, 1] 밖의 값을 넣는 경우입니다. 실수 범위의 답이 없습니다.
• sin⁻¹x를 1/sin x로 읽는 경우입니다. 역수는 csc x입니다.
• 0°~360°에서 sin θ = k를 풀 때 두 번째 해를 빠뜨리는 경우입니다.
• 방향각을 arctan(y/x)로 구하는 경우입니다. 반대쪽 사분면을 구별하지 못하므로 atan2를 쓰십시오.

자주 묻는 질문

arcsin(2)는 왜 결과가 없나요?

실수 각의 사인 값은 1을 넘을 수 없으므로 사인이 2인 실수 각은 없습니다.

직각삼각형의 두 변으로 각을 어떻게 구하나요?

arctan(높이 ÷ 밑변), arcsin(높이 ÷ 빗변), arccos(밑변 ÷ 빗변) 중 주어진 변에 맞는 것을 쓰면 됩니다.

arccos의 라디안 값은 어떻게 구하나요?

도 값에 π/180을 곱하면 됩니다. 60° = π/3 ≈ 1.0471975512 rad입니다.

출처: NIST Digital Library of Mathematical Functions, §4.23 (inverse trigonometric functions, principal values) · Abramowitz and Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Chapter 4