홍라이프 계산기반비례(변동) 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 반비례 관계 y = k ÷ xⁿ을 다룹니다. 알고 있는 한 쌍으로 변동 상수 k를 구하고 식을 적은 뒤, 새 x에 대한 y나 새 y에 대한 x를 알려 줍니다. 속력과 이동 시간, 일하는 사람 수와 걸리는 날수, 역제곱 법칙 같은 대수 문장제에 쓸 수 있습니다. 거듭제곱 n을 바꾸면 역제곱 관계도 계산합니다.
계산 방법
k = y₁ × x₁ⁿ
새 y = k ÷ xⁿ, 새 x = (k ÷ y)^(1/n)
y의 변화 배율 = 새 y ÷ y₁
- n = 1은 보통의 반비례, n = 2는 역제곱 법칙입니다.
- 검산: y × xⁿ이 k와 같아야 합니다. x = 0은 쓸 수 없습니다.
원리
반비례에서는 곱 y·xⁿ이 변하지 않습니다. 한쪽이 커지면 그 곱을 유지하려고 다른 쪽이 작아져야 합니다. n = 1이면 x가 두 배일 때 y는 절반입니다. 같은 거리를 두 배 빠르게 가면 시간이 절반이 되는 것과 같습니다. n = 2면 x가 두 배일 때 y는 4분의 1이 되는데, 빛이나 소리의 세기가 발생원에서 퍼져 나가며 약해지는 것이 그 예입니다. 같은 양의 빛이 거리의 제곱에 비례하는 넓이로 퍼지기 때문입니다.
예제 풀이
기본값: x₁ = 4, y₁ = 15, n = 1, x = 6일 때의 y 구하기.
- 변동 상수 k = 15 × 4 = 60입니다.
- 식은 y = 60 / x, 알고 있는 쌍은 (4, 15)입니다.
- 새 y = 60 ÷ 6 = 10입니다(구한 것: 새 x에 대한 y).
- y의 변화 배율 = 10 ÷ 15 = 0.6666666667로 6 ÷ 4의 역수입니다.
- 검산: y × x = 10 × 6 = 60 = k입니다.
| 새 x 또는 새 y | 답 |
|---|---|
| 1.5 | 40 |
| 3 | 20 |
| 4.5 | 13.33333333 |
| 6 | 10 |
| 7.5 | 8 |
| 9 | 6.666666667 |
| 12 | 5 |
결과 해석
4명이 15일 걸리는 일을 6명이 하면, 모두 같은 속도로 일하고 일을 나눠 할 수 있다고 할 때 10일 걸립니다. n = 1이면 y의 변화 배율은 x의 변화 배율의 역수이고, n = 2면 그 역수의 제곱입니다. 교과서 문제에서는 '일정한 양을 나눠 갖는' 상황인지를 먼저 확인하면 정비례인지 반비례인지 쉽게 구별할 수 있습니다.
흔한 실수
- k를 y ÷ x로 구하는 경우(그것은 정비례입니다)
- 역제곱 문제에서 거듭제곱을 빼먹는 경우
- 준비 시간처럼 고정된 몫이 있는데 반비례를 적용하는 경우
- x = 0을 넣는 경우
- 새 x를 구할 때 거듭제곱근을 취하지 않는 경우
자주 묻는 질문
반비례란?
곱 y·xⁿ이 일정한 관계 y = k ÷ xⁿ입니다.
k는 어떻게 구하나요?
알고 있는 쌍에서 y에 xⁿ을 곱합니다.
반비례의 예는?
정해진 거리를 갈 때의 이동 시간과 속력입니다.
정비례와 어떻게 구별하나요?
두 양의 비(y ÷ x)가 일정하면 정비례, 곱(x × y)이 일정하면 반비례입니다.
그래프는 어떤 모양인가요?
n = 1이면 쌍곡선으로, x가 커질수록 y가 0에 가까워지지만 0이 되지는 않습니다.
출처: OpenStax, College Algebra 2e (2021), §5.8 Modeling Using Variation