홍라이프 계산기라그랑주 오차 한계 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 라그랑주 나머지항으로 테일러 다항식 근사의 오차 한계를 구합니다. sin x, cos x, eˣ 또는 직접 정한 한계 M에 대해 한 점에서의 오차 한계, 테일러 다항식 값, 참값, 실제 오차, 허용오차를 만족하는 가장 작은 차수를 알려 줍니다. 테일러 급수와 수치 근사에 관한 미적분 숙제에 쓸 수 있습니다.
계산 방법
f(x) = Pₙ(x) + Rₙ(x), a와 x 사이의 어떤 c에 대해 Rₙ(x) = f⁽ⁿ⁺¹⁾(c) ÷ (n + 1)! × (x − a)ⁿ⁺¹
라그랑주 오차 한계: |Rₙ(x)| ≤ M × |x − a|ⁿ⁺¹ ÷ (n + 1)!
- M은 a와 x 사이에서 |f⁽ⁿ⁺¹⁾|의 최댓값입니다. sin x와 cos x는 M = 1입니다.
- 한계가 허용오차 이하가 되는 가장 작은 차수는 n = 0, 1, 2, …를 차례로 넣어 찾습니다.
원리
테일러 다항식은 중심 a에서 함수의 값과 n번째까지의 도함수를 맞춥니다. 남는 오차는 급수의 다음 항처럼 생겼지만, 도함수를 알 수 없는 어떤 점 c에서 계산한 값입니다. c를 모르므로 그 도함수의 가장 큰 크기 M을 쓰면 확실한 상한이 됩니다. 분모의 계승이 매우 빠르게 커지므로, 중심 근처에서는 항을 몇 개만 더해도 오차가 크게 줄어듭니다.
예제 풀이
기본값: f(x) = sin x, a = 0, x = 0.5, n = 3, M = 1, 허용오차 0.0001.
- (n + 1)! = 4! = 24, |x − a|⁴ = 0.5⁴ = 0.0625, 사용한 M은 1입니다.
- 오차 한계 = 1 × 0.0625 ÷ 24 = 0.00260417입니다.
- 테일러 다항식 P₃(0.5) = 0.5 − 0.5³ ÷ 6 = 0.4791666667입니다.
- 참값 sin 0.5 = 0.4794255386, 실제 오차 = 0.0002589로 한계 안에 넉넉히 들어옵니다.
- 한계가 0.0001 이하인 가장 작은 차수는 5입니다(한계 0.5⁶ ÷ 720 ≈ 0.0000217).
| 근사할 점 x | 오차 한계 |Rₙ(x)| ≤ |
|---|---|
| 0.125 | 0.0000101725 |
| 0.25 | 0.00016276 |
| 0.375 | 0.000823975 |
| 0.5 | 0.00260417 |
| 0.625 | 0.00635783 |
| 0.75 | 0.0131836 |
| 1 | 0.0416667 |
결과 해석
한계는 최악의 경우입니다. 이 예에서 실제 오차는 약 10분의 1 수준인데, sin x는 x⁴ 계수가 0이라 3차와 4차 다항식이 같기 때문입니다. 한계는 정확한 오차를 추정하기보다, 보장된 정확도를 얻으려면 항이 몇 개 필요한지 정할 때 쓰십시오. 공학용 계산기나 컴퓨터가 삼각함수 값을 구할 때도 이런 원리로 필요한 항의 수를 정합니다.
흔한 실수
- (n + 1)번째가 아니라 n번째 도함수를 쓰는 경우
- 구간 전체가 아니라 중심에서만 M을 정하는 경우
- 계승을 빼먹는 경우
- M을 구한 구간 밖에서 한계를 쓰는 경우
자주 묻는 질문
라그랑주 오차 한계란?
테일러 다항식 오차의 확실한 상한 |Rₙ(x)| ≤ M|x − a|ⁿ⁺¹ ÷ (n + 1)!입니다.
M은 어떻게 정하나요?
a와 x 사이에서 (n + 1)번째 도함수의 절댓값 중 가장 큰 값을 씁니다.
실제 오차는 왜 한계보다 작나요?
한계는 가장 나쁜 도함수 값을 가정하기 때문이며, 실제 값은 대개 더 작습니다.
출처: OpenStax, Calculus Volume 2 (2016), §6.3 Taylor and Maclaurin Series