홍라이프 계산기통경(latus rectum) 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 포물선, 타원, 쌍곡선의 통경, 곧 초점을 지나면서 주축에 수직인 현의 길이를 구합니다. 반통경, 이심률, 초점 거리 c, 통경의 양 끝점도 보여 줍니다. 원뿔곡선을 배우는 미적분 입문 수업과 궤도 기하에 쓸 수 있습니다. 포물선은 초점 거리 p를, 타원과 쌍곡선은 두 반축 a, b를 넣으면 됩니다.
계산 방법
- 포물선 y² = 4px: 통경 |4p|, 끝점 (p, ±2p), e = 1
- 타원 x²/a² + y²/b² = 1 (a ≥ b): c² = a² − b², 통경 2b²/a, e = c/a
- 쌍곡선 x²/a² − y²/b² = 1: c² = a² + b², 통경 2b²/a, e = c/a
- 반통경 ℓ = 통경의 절반
원리
통경은 원뿔곡선이 초점 위치에서 얼마나 넓은지를 나타냅니다. 타원과 쌍곡선의 방정식에 초점 위치 x = c를 넣으면 y = ±b²/a가 나오므로 현의 길이는 2b²/a입니다. 반통경 ℓ는 모든 원뿔곡선의 극방정식 r = ℓ ÷ (1 + e cos θ)에 들어 있어 궤도 역학에서 중요합니다. 포물선은 이심률이 1이라 같은 식에서 e = 1을 넣은 경우에 해당합니다. 행성의 궤도는 태양을 한 초점으로 하는 타원이기 때문입니다.
예제 풀이
기본값: 타원, a = 5, b = 3.
- c = √(25 − 9) = 4이므로 초점은 (±4, 0)입니다.
- 이심률 e = 4 ÷ 5 = 0.8입니다.
- 통경 = 2 × 3² ÷ 5 = 18 ÷ 5 = 3.6입니다.
- 반통경 ℓ = 1.8입니다.
- 끝점은 (4, ±1.8)입니다.
결과 해석
통경이 2a에 비해 작으면 초점이 중심에서 멀리 떨어진 납작한 타원입니다. e가 0에 가까워질수록 타원은 원이 되고 통경은 지름 2a에 가까워집니다. 포물선에서는 통경이 초점 거리의 네 배입니다. 예를 들어 초점 거리가 2인 포물선은 초점에서의 폭이 8입니다. 그래프를 그릴 때 통경의 끝점을 찍어 두면 초점 근처의 곡선 폭을 정확히 잡을 수 있어 손으로 그리기가 훨씬 쉬워집니다.
흔한 실수
- 타원에 c² = a² + b², 쌍곡선에 c² = a² − b²를 쓰는 경우
- 주축이 세로일 때 a와 b를 바꾸는 경우
- 통경을 단축과 혼동하는 경우
- 포물선에서 4p 대신 2p를 쓰는 경우
- 반통경을 통경 전체로 착각하는 경우
자주 묻는 질문
타원의 통경이란?
초점을 지나 장축에 수직인 현으로, 길이는 2b²/a입니다.
y² = 8x의 통경은?
4p = 8이므로 8입니다(p = 2).
반통경은 왜 중요한가요?
궤도를 나타내는 원뿔곡선의 극방정식에 들어가기 때문입니다.
쌍곡선의 통경도 같은 공식인가요?
네, 2b²/a로 같습니다. 다만 초점 거리는 c² = a² + b²로 구합니다.
원의 통경은?
원은 이심률이 0인 타원으로, 초점이 중심과 겹쳐 통경이 지름과 같습니다.
출처: Lumen Learning, Precalculus (based on OpenStax Precalculus 2e), "Conics: Cheat Sheet"