사인·코사인 법칙 계산기 (SAS: 두 변과 끼인각)

사인법칙·코사인법칙 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리

삼각형에서 두 변의 길이와 그 사이에 끼인각을 알면(SAS) 삼각형의 모양과 크기가 하나로 정해지므로 나머지 변과 각을 모두 구할 수 있습니다. 이 계산기는 변 b, 변 c, 끼인각 A를 입력받아 남은 변 a, 두 각 B와 C, 그리고 넓이를 계산합니다. 직각이 없어 피타고라스 정리만으로는 풀 수 없는 측량, 목공, 항해 문제나 고등학교 수학 문제에서 많이 씁니다.

계산 방법

• 코사인법칙: a² = b² + c² − 2bc cos A이므로 a = √(b² + c² − 2bc cos A)입니다.
• 사인법칙: a / sin A = b / sin B이므로 sin B = b sin A / a, B = arcsin(b sin A / a)입니다.
• 내각의 합: C = 180° − A − B입니다.
• 넓이: ½ bc sin A입니다.

각은 도(°) 단위로 입력하면 내부에서 π/180을 곱해 라디안으로 바꿉니다. 변의 단위는 자유이며, a는 같은 단위로, 넓이는 그 단위의 제곱으로 나옵니다.

원리

코사인법칙은 피타고라스 정리에 보정항을 더한 식입니다. 한 꼭짓점에서 수선을 내려 생기는 두 직각삼각형에 피타고라스 정리를 적용하면 −2bc cos A라는 항이 남습니다. A = 90°이면 cos A = 0이 되어 a² = b² + c²로 돌아가고, A가 예각이면 a가 더 짧아지며 둔각이면 더 길어집니다. 사인법칙은 넓이에서 나옵니다. ½bc sin A = ½ac sin B = ½ab sin C를 ½abc로 나누면 sin A / a = sin B / b = sin C / c가 되며, 이 값은 1/(2R)(R은 외접원의 반지름)과 같습니다.

예제 풀이

1. 입력값은 b = 7, c = 9, A = 60°이고 cos A = 0.5, sin A ≈ 0.866025입니다.
2. a² = 49 + 81 − 2 × 7 × 9 × 0.5 = 67이므로 a = √67 ≈ 8.185352772입니다.
3. sin B = 7 × 0.866025 ÷ 8.185353 ≈ 0.740613이므로 B ≈ 47.78365116°입니다.
4. C = 180 − 60 − 47.78365 = 72.21634884°입니다.
5. 넓이 = ½ × 7 × 9 × 0.866025 ≈ 27.27980022입니다.

결과 해석

가장 긴 변의 맞은편에 가장 큰 각이 옵니다. 이 예에서는 c = 9가 가장 길고 C ≈ 72.2°가 가장 크므로 결과가 자연스럽습니다. 세 각의 합이 180°인지도 함께 확인하십시오. a가 b, c에 비해 매우 작다면 끼인각이 작아 삼각형이 납작하다는 뜻이며, 이때는 각도 측정의 작은 오차가 결과를 크게 바꿉니다.

흔한 실수

• 두 변 사이에 끼인각이 아닌 다른 각을 넣는 경우입니다.
• 손으로 계산할 때 계산기가 라디안 모드인 채로 도 단위를 넣는 경우입니다.
• arcsin은 90° 이하의 각만 돌려주므로 B가 둔각이면 그 보각이 나온다는 점을 놓치는 경우입니다.

자주 묻는 질문

사인법칙과 코사인법칙은 언제 각각 쓰나요?

두 각과 한 변을 알면(ASA, AAS) 사인법칙을, 두 변과 끼인각(SAS)이나 세 변(SSS)을 알면 코사인법칙을 씁니다.

사인법칙의 애매한 경우란 무엇인가요?

두 변과 끼이지 않은 각(SSA)이 주어지면 sin B = sin(180° − B)이기 때문에 삼각형이 없거나 하나 또는 두 개가 될 수 있습니다.

직각삼각형에도 코사인법칙을 쓸 수 있나요?

네. 끼인각이 90°이면 보정항이 0이 되어 피타고라스 정리와 똑같아집니다.

출처: Euclid, Elements, Book II, Propositions 12 and 13 (geometric form of the law of cosines) · I. M. Gelfand and M. Saul, Trigonometry, Birkhäuser