홍라이프 계산기최소공통분모 계산 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
여러 분수의 분모를 같게 만들 때 쓸 수 있는 가장 작은 수를 최소공통분모라고 합니다. 모든 분모로 나누어떨어지는 가장 작은 자연수이므로, 분모들의 최소공배수와 같습니다. 분수를 손으로 더하거나 빼거나 크기를 비교할 때 가장 작은 수로 통분하기 위해 필요합니다. 분모를 입력하면 최소공통분모와 각 분수에 곱해야 할 수를 알려 줍니다.
계산 방법
최소공통분모는 분모들의 최소공배수입니다.
최소공통분모 = LCM(d₁, d₂, …, dₙ)
계산은 두 수씩 차례로 하며 LCM(a, b) = |a × b| ÷ GCD(a, b)를 씁니다. 따라서 LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)입니다. 각 분모에 대한 곱할 수는 최소공통분모 ÷ dᵢ이고, 그 분수의 분자와 분모에 이 수를 곱하면 통분이 됩니다. 입력값은 정수로 반올림해 계산합니다.
원리
공통분모는 모든 분모의 배수여야 하므로, 어느 한 분모에라도 들어 있는 소인수는 모두 포함해야 합니다. 그중 가장 작은 수는 각 소인수를 여러 분모 가운데 가장 큰 지수만큼만 곱한 수입니다. 4 = 2², 6 = 2 × 3, 10 = 2 × 5이므로 최소공통분모에는 2², 3, 5가 필요합니다. 분모를 모두 곱한 240도 공통분모이지만, 공통인 인수가 겹쳐 들어가 필요 이상으로 커집니다.
예제 풀이
- 입력값: 분모 4, 6, 10입니다.
- LCM(4, 6) = 4 × 6 ÷ GCD(4, 6) = 24 ÷ 2 = 12입니다.
- LCM(12, 10) = 120 ÷ GCD(12, 10) = 120 ÷ 2 = 60입니다.
- 결과는 최소공통분모 60입니다.
- 곱할 수는 60 ÷ 4 = 15, 60 ÷ 6 = 10, 60 ÷ 10 = 6이므로 15, 10, 6입니다.
예를 들어 1/4 + 1/6 + 1/10 = 15/60 + 10/60 + 6/60 = 31/60입니다.
결과 해석
최소공통분모가 가장 큰 분모와 같으면 나머지 분모들이 그 수의 약수라는 뜻입니다. 분모를 모두 곱한 값과 같으면 어느 두 분모도 1 이외의 공약수가 없는 서로소입니다. 통분해서 계산한 결과도 다시 약분될 수 있으니 마지막에 꼭 확인하십시오.
흔한 실수
- 최소공배수 대신 최대공약수를 쓰는 경우입니다.
- 분모에만 곱할 수를 곱하고 분자에는 곱하지 않습니다.
- 분모와 함께 분자까지 입력합니다.
- 분모를 모두 곱한 수가 항상 최소공통분모라고 생각합니다.
자주 묻는 질문
최소공통분모와 최소공배수는 같은 것인가요?
값은 같습니다. 분수의 분모를 다룰 때 최소공통분모라고 부를 뿐입니다.
분수를 더할 때 반드시 최소공통분모로 통분해야 하나요?
아닙니다. 어떤 공통분모를 써도 되지만, 최소공통분모를 쓰면 수가 작아 계산이 쉽고 마지막 약분도 줄어듭니다.
암산으로 빨리 찾는 방법이 있나요?
가장 큰 분모의 배수를 10, 20, 30…처럼 차례로 세다가 다른 분모로도 나누어떨어지는 첫 수를 찾으면 됩니다. 4, 6, 10이면 60입니다.
출처: G. H. Hardy and E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, Chapter 1–2 · D. E. Knuth, The Art of Computer Programming, Vol. 2: Seminumerical Algorithms, 4.5.2절