홍라이프 계산기거듭제곱의 합 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 1² + 2² + … + 100²처럼 시작값부터 끝값까지 모든 정수 i에 대해 iᵖ을 더합니다. 거듭제곱의 합은 수열 단원, 알고리즘의 연산 횟수 분석, 정적분을 근사하는 구분구적법, 각종 경시 문제에 자주 나옵니다. 범위와 지수 p를 직접 정할 수 있습니다.
계산 방법
S = Σ iᵖ (i = m, m + 1, …, n)을 각 항을 직접 더해 계산합니다. 자주 쓰는 지수에는 1부터 n까지의 합 공식이 있습니다.
- Σ i = n(n + 1)/2
- Σ i² = n(n + 1)(2n + 1)/6
- Σ i³ = [n(n + 1)/2]²
시작값 m이 1보다 크면 1부터 m − 1까지의 합을 빼면 됩니다. 범위는 최대 1,000만 항까지 계산합니다.
원리
Σ i 공식은 짝짓기로 설명됩니다. 1 + 2 + … + n을 앞에서부터와 뒤에서부터 나란히 쓰면 각 열의 합이 n + 1이고 열이 n개이므로, 합의 두 배가 n(n + 1)입니다. Σ i² 공식은 수학적 귀납법이나 소거를 이용해 증명합니다. (i + 1)³ − i³ = 3i² + 3i + 1을 i = 1부터 n까지 더하면 좌변은 (n + 1)³ − 1만 남고, 이를 정리하면 n(n + 1)(2n + 1)/6이 나옵니다. 일반적으로 Σ iᵖ은 대략 nᵖ⁺¹/(p + 1)처럼 커지는데, 이는 ∫xᵖ dx와 같은 모양입니다.
예제 풀이
- 기본 입력값은 i = 1부터 100까지, 지수 p = 2입니다.
- 공식에 넣으면 100 × 101 × 201 ÷ 6 = 2,030,100 ÷ 6입니다.
- 결과는 338,350이며, 1 + 4 + 9 + … + 10,000을 하나씩 더한 값과 같습니다.
- 적분 근사 100³/3 ≈ 333,333과 비교하면 정확한 합에 꽤 가깝습니다.
| 거듭제곱 p (i^p의 합) | Σ iᵖ |
|---|---|
| 0.5 | 671.4629471 |
| 1 | 5,050 |
| 1.5 | 40,501.22452 |
| 2 | 338,350 |
| 2.5 | 2,907,351.199 |
| 3 | 25,502,500 |
| 4 | 2,050,333,330 |
결과 해석
정수를 입력하고 합이 약 9 × 10¹⁵보다 작으면 결과는 정확한 정수입니다. 비교하자면 1부터 100까지 Σ i는 5,050, Σ i³은 25,502,500입니다. p가 음수이면 역수의 합이 되며, p = −1은 조화수로 ln n 정도로만 천천히 커집니다.
흔한 실수
- 시작값이 1이 아닌데 1부터의 공식을 그대로 쓰는 실수입니다.
- 항의 개수를 잘못 세는 실수입니다. 1부터 100까지는 100개, 0부터 100까지는 101개입니다.
- p가 음수인데 범위에 i = 0을 포함해 0으로 나누게 되는 경우입니다.
자주 묻는 질문
처음 n개 홀수의 합은 얼마인가요?
n²입니다. 예를 들어 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4²입니다.
Σ 1/i²은 수렴하나요?
네. 무한히 더하면 π²/6 ≈ 1.6449이며, 오일러가 처음 증명했습니다.
왜 Σ i³은 Σ i의 제곱과 같나요?
니코마코스의 정리로 알려진 항등식이며 귀납법으로 증명됩니다. n = 100이면 5,050² = 25,502,500입니다.
출처: Graham, R. L., Knuth, D. E., Patashnik, O., Concrete Mathematics, Chapter 2 · 교육부, 2022 개정 수학과 교육과정(대수: 수열)