홍라이프 계산기두 점을 지나는 직선의 방정식 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
서로 다른 두 점을 지나는 직선은 오직 하나뿐입니다. 이 계산기는 두 점의 좌표로 직선의 방정식을 기울기-절편 꼴(y = mx + b)과 일반형(Ax + By = C)으로 나타내고, 기울기, 직선의 방향 각도, 수직인 직선의 기울기까지 구해 줍니다. 일차함수와 해석기하 공부, 두 자료값 사이의 선형 보간, 직선 추세 확인, 도로나 경사로의 경사 계산에 쓰입니다.
계산 방법
- 기울기: m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)입니다.
- y절편: b = y₁ − m × x₁이고, 직선은 y = mx + b입니다.
- 일반형: (y₂ − y₁)x − (x₂ − x₁)y = (y₂ − y₁)x₁ − (x₂ − x₁)y₁입니다. 계산기는 계수의 공약수를 약분하고 A ≥ 0이 되도록 정리합니다.
- 각도: x축의 양의 방향에서 잰 직선의 경사각(0°~180°)으로, 두 점의 순서와 관계없이 같습니다.
- 수직인 직선의 기울기: −1 ÷ m입니다.
x₁ = x₂이면 수직선이 되어 방정식은 x = x₁입니다.
원리
직선 위의 어느 두 점을 골라도 x의 변화량에 대한 y의 변화량의 비는 일정하며, 이 일정한 비가 기울기입니다. 기울기를 알면 지나는 한 점이 직선의 위치를 정해 주므로 (x₁, y₁)을 y = mx + b에 대입해 b를 구합니다. 일반형은 두 점을 지나는 직선의 방정식 (y − y₁)(x₂ − x₁) = (x − x₁)(y₂ − y₁)을 정리한 것으로, 수직선에도 그대로 쓸 수 있습니다. 기울기는 tan θ와 같으므로 각도는 그 역탄젠트입니다. 방향 (Δx, Δy)를 90° 돌리면 (−Δy, Δx)가 되므로 수직인 두 직선의 기울기의 곱은 −1입니다.
예제 풀이
- 입력값: (x₁, y₁) = (1, 3), (x₂, y₂) = (4, 9)입니다.
- 기울기: (9 − 3) ÷ (4 − 1) = 6 ÷ 3 = 2입니다.
- y절편: 3 − 2 × 1 = 1이므로 y = 2x + 1입니다.
- 일반형: 교차 곱으로 6x − 3y = 6 × 1 − 3 × 3 = −3을 얻고, 공약수 3으로 나누면 2x − y = -1입니다.
- 각도: arctan 2 ≈ 63.43494882°, 수직인 직선의 기울기: −1 ÷ 2 = -0.5입니다.
결과 해석
기울기 2는 x가 1 늘 때 y가 2 늘어난다는 뜻입니다. 경사도로 보면 기울기 × 100이 백분율 경사이므로 200%, 각도로는 약 63.4°입니다. y절편 1은 직선이 y축과 만나는 높이입니다. 두 점을 대입해 2 × 4 + 1 = 9처럼 확인할 수 있습니다.
흔한 실수
- 빼는 순서를 섞어 (y₂ − y₁) ÷ (x₁ − x₂)로 계산하면 부호가 바뀝니다.
- 수직인 직선의 기울기를 부호만 바꾼 값으로 착각하는 경우입니다. 음의 역수입니다.
- 모양이 다른 일반형을 틀렸다고 생각하는 경우입니다. 6x − 3y = −3과 약분한 2x − y = −1은 같은 직선입니다.
자주 묻는 질문
점-기울기 꼴로는 어떻게 쓰나요?
y − y₁ = m(x − x₁)입니다. 예제는 y − 3 = 2(x − 1)입니다.
x절편은 어떻게 구하나요?
y = 0을 대입해 x = −b ÷ m입니다. y = 2x + 1이면 x = −0.5입니다.
두 직선이 평행한지 어떻게 판단하나요?
수직선이 아닌 두 직선은 기울기가 같고 y절편이 다르면 평행합니다.
출처: R. Descartes, La Géométrie (1637), foundation of analytic geometry · J. Stewart, L. Redlin and S. Watson, Precalculus: Mathematics for Calculus, Cengage, chapter on lines