홍라이프 계산기두 직선의 교점 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
평면 위의 두 직선은 한 점에서 만나거나, 평행하여 만나지 않거나, 완전히 겹치는 세 경우 중 하나입니다. 이 계산기는 a₁x + b₁y = c₁, a₂x + b₂y = c₂ 꼴의 두 직선을 입력받아 교점과 두 직선이 이루는 각을 구합니다. 두 직선의 교점을 구하는 일은 미지수가 두 개인 연립일차방정식을 푸는 것과 같아서, 수학 문제뿐 아니라 손익분기점, 수요와 공급, 측량, 컴퓨터 그래픽에서도 자주 쓰입니다.
계산 방법
- 행렬식: D = a₁b₂ − b₁a₂입니다.
- 교점(크라메르 공식): x = (c₁b₂ − b₁c₂) ÷ D, y = (a₁c₂ − c₁a₂) ÷ D입니다.
- D = 0인 경우: 두 직선이 평행하거나 일치하여 교점이 하나로 정해지지 않습니다.
- 각도: θ = |atan2(a₁b₂ − a₂b₁, a₁a₂ + b₁b₂)|를 도로 나타낸 값으로, 두 법선벡터 (a₁, b₁)과 (a₂, b₂)가 이루는 각입니다.
원리
각 방정식은 그것을 만족하는 모든 점의 모임이고, 교점은 두 방정식을 동시에 만족하는 유일한 점입니다. 크라메르 공식은 가감법과 같은 원리입니다. 첫 식에 b₂, 둘째 식에 b₁을 곱해 빼면 y가 소거되어 D × x = c₁b₂ − b₁c₂가 남습니다. 행렬식 D는 두 직선의 방향이 얼마나 다른지를 나타내며, D = 0이면 계수가 비례하여 두 직선의 방향이 같으므로 해가 하나로 정해지지 않습니다.
각도는 (a, b)가 직선에 수직인 법선벡터라는 점을 이용합니다. 두 법선이 이루는 각은 두 직선이 이루는 각과 같고, 외적을 내적으로 나눈 atan2를 쓰면 0°부터 180°까지 안정적으로 구할 수 있습니다.
예제 풀이
- 입력값: x − y = 1, 2x + y = 8입니다.
- D = 1 × 1 − (−1) × 2 = 3입니다.
- x = (1 × 1 − (−1) × 8) ÷ 3 = 3, y = (1 × 8 − 1 × 2) ÷ 3 = 2이므로 교점은 (3, 2)입니다.
- 검산: 3 − 2 = 1, 2 × 3 + 2 = 8로 두 식을 모두 만족합니다.
- 각도: atan2(3, 1) ≈ 71.56505118°입니다.
결과 해석
교점은 두 식을 동시에 참으로 만드는 유일한 (x, y)로, 예를 들어 공급과 수요가 같아지는 가격과 수량입니다. 각도가 90°이면 두 직선은 수직입니다. 결과가 90°보다 크게 나올 수 있는데, 이때 두 직선이 이루는 예각은 180°에서 그 값을 뺀 것입니다. 계수에 비해 D가 매우 작으면 두 직선이 거의 평행하다는 뜻이므로 입력값이 조금만 달라져도 교점이 크게 움직입니다.
흔한 실수
- y = mx + k 꼴을 그대로 넣는 경우입니다. −mx + y = k로 바꾸어 a = −m, b = 1, c = k로 입력합니다.
- c의 부호를 혼동하는 경우입니다. 이 계산기는 ax + by + c = 0이 아니라 ax + by = c 꼴을 씁니다.
- D = 0이면 무조건 해가 없다고 보는 경우입니다. 두 직선이 일치하면 해가 무수히 많습니다.
자주 묻는 질문
평행한 두 직선이 일치하는지는 어떻게 알 수 있나요?
D = 0일 때 a₁ : b₁ : c₁ = a₂ : b₂ : c₂로 세 계수가 모두 비례하면 두 직선은 일치합니다.
기울기로 두 직선의 각을 구할 수 있나요?
tan θ = |(m₂ − m₁) ÷ (1 + m₁m₂)|입니다. 기울기 1과 −2이면 tan θ = 3이므로 θ ≈ 71.57°입니다.
미지수가 세 개인 연립방정식에도 쓸 수 있나요?
크라메르 공식은 3 × 3 행렬식으로 확장되지만, 이 계산기는 평면 위의 두 직선만 다룹니다.
출처: G. Cramer, Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques (1750) · G. Strang, Introduction to Linear Algebra, Wellesley-Cambridge Press