홍라이프 계산기일차결합 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 목표 벡터 b를 주어진 벡터들의 일차결합 c₁v₁ + c₂v₂ + …로 쓸 수 있는지 판단하고, 쓸 수 있으면 계수를 구합니다. 계수가 유일한지와 벡터 집합의 계수(rank)도 알려 줍니다. 생성, 해의 존재, 기저에 관한 선형대수 숙제에 쓸 수 있습니다.
계산 방법
벡터를 열로 놓은 첨가행렬 [v₁ v₂ … v_k | b]를 만듭니다.
행 소거를 하면:
- 마지막 열에 피벗이 생기면 해가 없으므로 b는 생성공간 밖입니다.
- 그렇지 않으면 b는 생성공간 안에 있고, 해가 c₁, c₂, …입니다.
- 모든 벡터 열에 피벗이 있으면(계수 = 벡터 수) 계수가 유일하고, 아니면 무수히 많습니다.
원리
b = c₁v₁ + … + c_kv_k를 성분별로 쓰면 c들을 미지수로 하는 연립일차방정식이 됩니다. 그래서 'b가 이 벡터들의 일차결합인가?'는 '이 연립방정식에 해가 있는가?', 또 'b가 열공간에 있는가?'와 같은 질문입니다. 행 소거가 이 세 질문에 한꺼번에 답합니다. 벡터들이 일차독립이면 도달할 수 있는 b마다 만드는 방법이 정확히 하나입니다.
예제 풀이
기본값: v₁ = (1, 2, 1), v₂ = (0, 1, 2), v₃ = (1, 0, −1), b = (2, 5, 4).
- 첨가행렬은 [1 0 1 | 2; 2 1 0 | 5; 1 2 −1 | 4]입니다.
- 행 소거 결과 모든 벡터 열에 피벗이 있고 마지막 열에는 없어, 계수는 3입니다.
- b는 생성공간 안에 있으며, 계수는 2, 1, 0입니다.
- 풀어 쓰면 2·v₁ + v₂ = (2, 4, 2) + (0, 1, 2) = (2, 5, 4)입니다.
- 계수는 유일합니다.
결과 해석
ℝ³에서 일차독립인 벡터 세 개는 ℝ³ 전체를 생성하므로, 모든 b에 도달할 수 있고 답은 항상 유일합니다. 이 예의 v₃처럼 계수가 0이라는 것은 이 b를 만드는 데 그 벡터가 필요 없다는 뜻일 뿐입니다. 계수가 벡터 수보다 작다면 일부 벡터가 중복이어서 계수가 유일하지 않습니다. 이때는 자유변수를 하나 정해 여러 가지 답 가운데 하나를 고를 수 있습니다.
흔한 실수
- 벡터를 계수행렬의 열이 아니라 행으로 넣는 경우
- 계산 실수 때문에 '생성공간 밖'이라고 결론 내리는 경우(대입해서 확인하십시오)
- 계수(rank)를 확인하지 않고 계수가 유일하다고 생각하는 경우
- 길이가 다른 벡터를 섞는 경우
자주 묻는 질문
일차결합이란?
각 벡터에 스칼라를 곱해 더한 c₁v₁ + c₂v₂ + …입니다.
b가 생성공간에 있는지 어떻게 확인하나요?
[v₁ … v_k | b]를 행 소거해 마지막 열에 피벗이 없으면 생성공간 안에 있습니다.
계수는 언제 유일한가요?
벡터들이 일차독립일 때입니다.
출처: D. Margalit & J. Rabinoff, Interactive Linear Algebra, §2.7 Basis and Dimension · A. Davis, P. Zachlin et al., Coordinated Linear Algebra (University of Nebraska–Lincoln), §2.4