일차방정식 풀이 (ax + b = c)

일차방정식 풀이 쉽게 이해하기 — 개념과 원리

미지수가 하나인 일차방정식은 항상 ax + b = c 꼴로 정리할 수 있으며, x는 1차로만 나타납니다. 방정식을 푼다는 것은 양변을 같게 만드는 x의 값을 찾는 것입니다. 일차방정식은 대수의 첫걸음이자 생활 곳곳에 쓰입니다. 기본요금이 있을 때 예산으로 몇 개를 살 수 있는지, 몇 시간을 일해야 비용을 충당하는지, 화씨온도가 섭씨로 몇 도인지 등을 구할 때 바로 이 식을 풉니다.

계산 방법

x = (c − b) ÷ a

• a는 x의 계수(단가, 기울기)입니다.
• b는 좌변의 상수항(고정된 금액 등)입니다.
• c는 우변의 값(목표값)입니다.

특별한 경우는 다음과 같습니다.

• a = 0이고 b = c이면 b = b가 되어 모든 x가 해입니다(any x).
• a = 0이고 b ≠ c이면 5 = 20처럼 거짓인 식이 되어 해가 없습니다(no solution).

원리

등식은 양팔 저울과 같아서 양변에 같은 수를 더하거나 빼고, 0이 아닌 같은 수를 곱하거나 나누어도 성립합니다. 이를 등식의 성질이라고 합니다. 양변에서 b를 빼면 ax = c − b가 되고, a ≠ 0이면 양변을 a로 나누어 x만 남길 수 있습니다. 그래프로 보면 직선 y = ax + b와 수평선 y = c가 만나는 점의 x좌표가 해입니다. 기울기가 0이 아니면 꼭 한 번 만나고, 기울기가 0이면 평행해서 만나지 않거나 완전히 겹칩니다.

예제 풀이

1. 입력값: a = 3, b = 5, c = 20, 즉 3x + 5 = 20입니다.
2. 양변에서 5를 빼면 3x = 15입니다.
3. 양변을 3으로 나누면 x = 15 ÷ 3입니다.
4. 결과: x = 5입니다.
5. 확인: 3 × 5 + 5 = 20으로 우변과 같습니다.

결과 해석

구한 값을 원래 식에 대입해 양변이 같은지 확인하는 습관이 가장 중요합니다. 문장제에서는 x의 단위를 함께 해석해야 합니다. a가 한 개의 가격이고 b가 배송비라면 x = 5는 다섯 개를 사면 합계가 20이 된다는 뜻입니다. 해가 정수가 아니면 상황에 맞게 올림이나 버림을 해야 할 수도 있습니다. 표를 4.6장 살 수는 없기 때문입니다. 또 a의 부호와 크기는 x가 1 늘 때 좌변이 얼마나 변하는지를 나타내므로, 계수를 바꿔 가며 결과를 비교하면 상황을 이해하는 데 도움이 됩니다.

흔한 실수

• 이항할 때 부호를 바꾸지 않는 경우
• 식의 일부만 a로 나누는 경우
• 2(x − 1) = 4x + 3처럼 정리되지 않은 식을 전개·정리하지 않고 넣는 경우
• a = 0인 경우를 생각하지 않는 경우

자주 묻는 질문

양변에 x가 있으면 어떻게 하나요?

x항은 한쪽, 상수항은 다른 쪽으로 모읍니다. 5x + 2 = 3x + 10은 2x + 2 = 10이므로 a = 2, b = 2, c = 10이고 x = 4입니다.

분수가 있는 방정식은요?

양변에 분모의 최소공배수를 곱해 분수를 없애거나, 계수를 소수로 넣으시면 됩니다.

일차방정식의 해가 두 개일 수도 있나요?

없습니다. 해는 하나이거나, 없거나, 무수히 많습니다.

출처: 교육부, 수학과 교육과정(중학교 1학년 '일차방정식') · I. M. Gelfand, A. Shen, Algebra, Birkhäuser