홍라이프 계산기일차독립 판정 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 벡터 집합이 일차독립인지 판정합니다. 독립이 아니면 종속 관계식을 찾고, 앞의 벡터들에 종속된 벡터와 계수(rank)를 알려 줍니다. 기저, 생성, 행렬의 가역성에 관한 선형대수 숙제에 쓸 수 있습니다.
계산 방법
벡터들을 열로 놓은 행렬을 행 소거합니다.
- 모든 열에 피벗이 있을 때, 곧 계수 = 벡터 수일 때만 일차독립입니다.
- 피벗이 없는 열은 앞의 피벗 열들의 결합이며, 소거 결과에서 종속 관계식 c₁v₁ + … + c_kv_k = 0의 계수를 얻습니다.
- 벡터 수가 벡터의 차원보다 많으면(k > n) 항상 종속입니다.
원리
어떤 벡터도 나머지로 만들 수 없을 때 벡터들은 독립입니다. 곧 영벡터를 만드는 결합은 계수가 모두 0인 것뿐입니다. 0이 아닌 계수로 영벡터를 만들 수 있다면 한 벡터를 나머지로 나타낼 수 있어서, 그 벡터는 생성공간에 새로운 것을 보태지 않습니다. 행 연산은 열 사이의 일차 관계를 그대로 유지하므로 행 소거가 이를 정확히 드러냅니다.
예제 풀이
기본값: v₁ = (1, 2, 3), v₂ = (4, 5, 6), v₃ = (7, 8, 9).
- 행 소거하면 1열과 2열에만 피벗이 생겨 계수는 2이고, 벡터는 3개, 차원은 3입니다.
- 일차독립인가? 아니요 — 일차종속입니다.
- 앞의 벡터에 종속된 벡터는 v3입니다.
- 종속 관계식은 v₁ − 2·v₂ + v₃ = 0이며, (1, 2, 3) − (8, 10, 12) + (7, 8, 9) = (0, 0, 0)으로 확인됩니다.
결과 해석
여기서 v₃ = 2v₂ − v₁이므로 세 벡터는 원점을 지나는 한 평면 위에 있고, 2차원 공간만 생성합니다. 열이 종속인 정사각행렬은 행렬식이 0이고 역행렬이 없습니다. 종속된 벡터를 빼면 생성공간의 기저가 남습니다. 이 예처럼 숫자가 규칙적으로 늘어나는 벡터들은 종속인 경우가 많으니 눈여겨보면 좋습니다.
흔한 실수
- 어느 벡터도 다른 벡터의 배수가 아니면 독립이라고 생각하는 경우(셋 이상이면 여러 벡터가 함께 종속일 수 있습니다)
- 영벡터를 포함한 집합은 항상 종속이라는 점을 잊는 경우
- 행렬을 만들 때 행과 열을 바꾸는 경우
- 반올림한 소수에서 0에 가까운 피벗을 그대로 믿는 경우
자주 묻는 질문
벡터가 일차독립인지 어떻게 확인하나요?
벡터를 열로 놓은 행렬을 행 소거해 모든 열에 피벗이 있으면 독립입니다.
(1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9)는 독립인가요?
아닙니다. v₁ − 2v₂ + v₃ = 0입니다.
ℝ³에서 벡터 네 개가 독립일 수 있나요?
없습니다. ℝ³에서는 최대 세 개까지만 독립일 수 있습니다.
출처: A. Davis, P. Zachlin et al., Coordinated Linear Algebra (University of Nebraska–Lincoln), §2.4 Homogeneous Linear Systems · D. Margalit & J. Rabinoff, Interactive Linear Algebra, §2.7